公理化位勢論

公理化位勢論是在抽象空間裏通過設置公理的方法建立起來的位勢理論。

公理化體系大致可分成三類。第一類是調和空間論，第二類是狄氏型（又稱狄利克雷形式），第三類是非線性公理體系。相對第三類而言，第一、二類都屬於線性公理體系。由於位勢論的大部分結果都可由其三個基本原理（即狄利克雷問題、極小值原理和收斂性質）導出，且為了適應偏微分方程和隨機過程的需要，公理化位勢論迅速地發展起來，它提供了統一處理問題的方法。

從20世紀50年代起，陶茨(Tautz,G.)、杜布(Doob,J.L.)和佈雷洛(Brelot,M.E.)等人做了開創性的工作，但由於他們處理問題的各自需要，其公理系統也因此互有一差異。

20世紀70年代初期，康斯坦T斯庫(Constantinescu,c.)和柯尼(Cornea,A.)在此基礎上建立了一般的調和公理系統。

通常在一個局部緊的豪斯多夫空間上，給出一個函數簇，規定其滿足若干公理（即所謂的調和公理），也就是規定了狄利克雷問題的可解性、極小值原理成立的可能性以及具有某種的收斂性質，這構成了調和空間。調和函數、上（下）調和函數和位勢的概念也自然而然地建立了。應用經典位勢論的典型方法，經典位勢論中的主要概念，如掃除、細拓撲、容量、極集、瘦集、格林函數、能量、狄利克雷積分和一些特殊邊界等，以及與它們相關的問題，都可以推廣到調和空間上來並加以研究。

比較典型的調和空間有佈雷洛空間和鮑爾空間。前者是以經典位勢論的研究對象拉普拉斯方程為模型的，因此，佈雷洛空間上的位勢論與經典理論最為接近，成果也最多.二階橢圓型偏微分方程均滿足佈雷洛公理系統，但熱傳導方程則不然，為此鮑爾(Bauer,H.)等人建立了鮑爾空間。拉普拉斯方程不但為公理化位勢論的形成提供了原始模型，而且指導着該領域裏的大部分研究工作。

20世紀80年代形成的掃除空間論和H錐理論是調和空間論的推廣和發展。

第二類公理體系不同於第一類，它是從經典的狄利克雷原理和相互能量的定義出發建立起來的。50年代末由戴尼(Deny,J.)和博靈(Beurling,A.)提出了狄利克雷空間論，現已發展為狄氏型，主要研究定義在希爾伯特空間上的一個雙線性泛函，在滿足什麼條件時可與馬爾可夫過程建立對應關係。

70年代，富山(Fukushima,M.)在正則的狄氏型上構造出強馬爾可夫過程被認為是一個重大突破。

20世紀90年代初，馬志明等成功地解決了擬正則狄氏型的問題。該理論可應用於非相對量子力學、馬爾可夫場、偽微分方程、反射擴散過程、無窮維隨機分析、秧論等領域的研究。

20世紀80年代以來，亞當斯(Adams,D.R.)，黑德波格(Hedberg,L.I.)、勒達拉(Lehtola,P.)、馬梯爾(Martio,O. )、林德維斯特(Lindqvist,P.)等人對非線性及擬線性位勢論研究作出巨大成績並初步建立了非線性公理體系，其中勒達拉建立的非線性系統是佈雷洛調和空間的直接對應。 ^[1]