平行公設

假定所有歐幾里得公設（當中包括平行公設）都成立的幾何稱為歐幾里得幾何。假定平行公設不成立的稱為非歐幾里得幾何。不依賴於平行公設的幾何，也就是隻假設前四條公設的，稱為仿射幾何。這只是一個與平行線的性質有關的公設。歐幾里得已在《幾何原本》第I卷定義第23條中定義過平行線了。

歐幾里得幾何的有些性質與平行公設等價，也就是假設平行公設成立，可推導出這些性質，反過來假設這些性質的一項為公理，也可以推導出平行公設。其中最重要的一項，也是最常作為公理代替平行公設的，要算是蘇格蘭數學家約翰·普萊費爾提出的普萊費爾公理：

給定一條直線，通過此直線外的任何一點，有且只有一條直線與之平行。

這裏有個問題要提出來，即在證明第五公設時，平面是不加定義，如果平面作如下定義：滿足第五公設的面定義為平面。這實際上可用公理法對平面作定義。如果有這定義，第五公設是自明的。這才符合直觀。

很多人嘗試用前四條公設證明平行公設都不成功，反而創造了違反平行公設的雙曲幾何。最後由意大利數學家貝爾特拉米（Eugenio Beltrami）證明了平行公設獨立於前四條公設。 ^[1] 

很多與平行公設等價的命題，似乎與平行線無關。有些性質更看似很明顯，因而被一些聲稱證明了平行公設的人不經意用到了。這裏是一些命題：

三角形內角和為兩直角。

所有三角形的內角和都相等。

存在一對相似但不全等的三角形。

所有三角形都有外接圓。.

若四邊形三個內角是直角，那麼第四個內角也是直角。

存在一對等距的直線。

若兩條直線都平行於第三條，那麼這兩條直線也平行。