平行線

在同一平面內，永不相交的兩條直線叫做平行線。平行線一定要在同一平面內定義，不適用於立體幾何，比如異面直線，不相交，也不平行。【基本定義】

在高等數學中的平行線的定義是相交於無限遠的兩條直線為平行線，因為理論上是沒有絕對的平行的。

平行線的定義包括三個基本特徵：一是在同一平面內，二是兩條直線，三是不相交。 ^[1] 

在同一平面內，兩條直線的位置關係只有兩種：平行和相交。 ^[1] 

平行線的性質與平行線的判定不同，平行線的判定是由角的數量關係來確定線的位置關係，而平行線的性質則是由線的位置關係來確定角的數量關係，平行線的性質與判定是因果倒置的兩種命題。對平行線的判定而言，兩直線平行是結論,而對平行線的性質而言，兩直線平行卻是條件。已知兩直線平行。由平行線得到角的關係是平行線的性質，包括：①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內錯角相等；③兩直線平行，同旁內角互補。 ^[3] 

平行線的平行公理

1.經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行。

2.兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補。

注意：只有兩條平行線被第三條直線所截，同位角才會相等，內錯角相等 同旁內角互補

1、同位角相等，兩直線平行。

2、內錯角相等，兩直線平行。

3、同旁內角互補，兩直線平行。

4、在同一平面內，垂直於同一直線的兩條直線互相平行。

5、在同一平面內，平行於同一直線的兩條直線互相平行。

6、同一平面內永不相交的兩直線互相平行。

在歐幾里得幾何原本的體系中，這幾條判定法則不依賴於第五公設（平行公理），所以在非歐幾何中也成立。

如圖1，∠1與∠2是一組同位角，形成F型

如圖1，∠1與∠3是一組內錯角，形成Z型

如圖1，∠4於∠3是一組同旁內角，形成U型

平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行。

平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行。平行公理的推論體現了平行線的傳遞性，它可以作為以後推理的依據。 ^[2] 

在歐幾里得的幾何原本中，第五公設（又稱為平行公理）是關於平行線的性質。它的陳述是：

“在平面內，如果兩條直線被第三條直線所截，一側的同旁內角之和大於兩個直角，那麼最初的兩條直線相交於這對同旁內角的另一側。”

這條公理的陳述過於冗長。在1795年，蘇格蘭數學家Playfair提出了以下以下公理作為平行公理的代替，在被人們廣泛的使用。

Playfair's Postulate:在同一平面內，過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線互相平行。

平行公理的推論：（平行線的傳遞性） 如果兩條直線都和第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行。可以簡稱為：平行於同一條直線的兩條直線互相平行。

參見：非歐幾何

由於平行公理陳述冗長，並且不像歐氏幾何中的其他公理那麼顯而易見，人們覺得它更像一個定理，可以從其他公理出發來證明。經歷了許多錯誤的證明，數學家們意識到這確實應作為一條公理。

更重要的是，在19世紀，數學家高斯，鮑耶，羅巴切夫斯基等發現，如果以平行公理的否定形式來代替平行公理，那麼可以演繹出一套和歐氏幾何完全不同，卻沒有內在矛盾的公理體系。這個大膽的觀點最初很難被人接受，但在邏輯上卻沒有任何問題。這個觀點成為人們對空間和幾何的認識的重大轉折點，包括愛因斯坦的廣義相對論，本質上都受到了這種觀點的影響。

在歐氏幾何中，在兩條平行線中做一條直線AB，以直線AB為半徑以逆時針方向做圓，然後以直線AB為半徑以順時針方向再做一個圓，從兩個圓的交點做垂線CD垂直於直線AB，若CD與AB的角的角度是90度，則説明兩條平行線不會相交。

但歐幾里得不敢思考當兩條平行線無限長時的情況.....

於是包括羅素、黎曼在內的科學家假設當兩條平行線無限長時，他們會在無窮遠處相交。後來，非歐幾何和黎曼空間就誕生了，該成果給了愛因斯坦很大的啓發．

平行線公理就是區分歐氏幾何與非歐幾何的一個重要區別。