平移羣

平移羣(translation group)是仿射李代數的外爾羣的子羣。設g(A)是仿射李代數，A=(a_ij)_i，j=0，設W是由r_i(i=1，2，…，l)生成的W的子羣，θ=δ-a₀α₀，v是g(A)的正規化標準型決定的h→h的同構，M=a₀Z(W·θ)，對任意的α∈M，引入如下h的自同態t_α：

其中c是g(A)典型中心元，T={t_α|α∈M}是g(A)的外爾羣的子羣稱為平移羣。仿射李代數的外爾羣W=W∝T。

在任何晶體結構中，都有一個潛在的空間點陣。空間點陣中每一個格矢都對應於該晶體結構中一個平移對稱操作。所有平移對稱操作的集合所構成的羣，就稱為此種晶體結構的平移羣。

由於每一個平移對稱操作對應於一個格矢，而平移操作的連續操作對應于格矢的加法，所以平移羣與格矢的加法羣同構。因此，空間點陣也就是晶體結構平移羣的圖象表示，稱為平移點陣。

在每一空間點陣中，都可以找到能顯示最高點對稱性的Bravais單胞以及與此相聯繫的標準座標系。於是，空間點陣中的格矢可表為T=ma+nb+pc，此處a、b、c為晶軸基矢，m、n、p為整數或簡單分數。平移羣的所有性質可以通過T的加法羣來進行研究。

所有晶體結構的Bravais點陣有14種，所以晶體結構的平移羣也相應地有14種，它們的代表符號也和14種Bravais點陣符號相同。

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

如果羣G的非空子集合H對於G的運算也成一個羣，那麼H稱為G的子羣。

羣的特殊的非空子集。羣G的非空子集H，若對G的乘法也成為羣，則稱H為G的子羣，記為H≤G.若子羣H≠G，則稱H為G的真子羣，記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元羣G至少有兩個子羣，G自身以及由單位元e作成的單位元羣{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子羣。不是平凡子羣的子羣稱為非平凡子羣。羣G的非空子集H為G的子羣的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H。若{H_i|i∈I}是G的子羣的集合，I是一個指標集，則所有H_i的交H_i是G的一個子羣。 ^[2] 

具有某種拓撲結構的羣。代數羣理論是羣論與代數幾何學結合的產物，可以看成李羣理論的推廣或者同李羣理論平行的一個羣論分支。若G是代數閉域K上的代數簇，又具有羣的結構，且乘法運算G×G→G(這裏的“×”表示簇的扎里斯基(Zariski，O.)積)與求逆運算G→G都是簇的態射，則稱G為代數羣.若G作為簇是不可約的，則稱此代數羣是連通的。代數羣的閉子簇若同時也是個子羣，則稱為閉子羣，它仍是個代數羣。代數羣關於它的正規閉子羣的商羣也是個代數羣。例如，K上n級一般線性羣(K上n級非奇異矩陣全體所成的羣)GL(n，K)是代數羣；K上n次特殊線性羣(K上行列式1的n階矩陣全體所成的羣)SL(n，K)是GL(n，K)的閉子羣.若代數羣G的簇結構是仿射的，則稱G為仿射代數羣或線性代數羣。採用後一術語的理由是，這種羣都同構於某個GL(n，K)的閉子羣。若G的簇結構是完備的，則稱G為阿貝爾簇。阿貝爾簇的羣結構很簡單(都是阿貝爾羣)，且被簇結構惟一決定，因此它的研究屬於代數幾何學的範疇。另一方面，對任意代數羣G，總可以惟一地找到一個正規的仿射閉子羣N，使G/N是阿貝爾簇.因此，代數羣理論研究的主要是仿射的(即線性的)代數羣，並把仿射代數羣簡稱代數羣。代數羣及其表示理論與域論、多重線性代數、交換環論、代數幾何、李羣、李代數、有限單羣理論以及羣表示理論等數學分支都有十分密切的聯繫，是近年來代數學的一個相當活躍的分支。

外爾羣是代數羣的某種子羣的商羣。指代數羣G的極大環面T的正規化子N_G(T)關於T的連通中心化子C_G(T)的商羣W(G，T)。代數羣G關於T的外爾羣總是有限羣，並同構於G關於T的根系的外爾羣。

作用在根系上的一種變換羣。設L為復半單李代數，h為L的嘉當子代數，Δ為根系，π為單根系。記Δ實線性生成h的對偶空間h之實線性子空間h_R，h_R中有反射：

其中α∈Δ，(x，y)為L之基靈型。於是{ω_α|α∈Δ}生成之羣稱為L的外爾羣。它是有限羣，且實際上由w_α1，w_α2，…，w_αl生成，其中π={α₁，α₂，…，α_l}為L的單根系。 ^[3]