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差分算子

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差分算子是一種算子，對任一實函數f(x)，若記Δf(x)=f(x+1)-f(x)，則稱Δ為向前差分算子，簡稱差分算子。差分是計算數學的基本概念之一，指離散函數在離散節點上的改變量。
中文名
差分算子
外文名
difference operator
所屬學科
數學
表達式
Δf(x)=f(x+1)-f(x)
符    號
Δ為向前差分算子，簡稱差分算子
類    型
數學術語

目錄

  1. 1 基本概念
  2. 2 相關概念
  3. 3 差分算子的若干性質
  1. 4 應用舉例
  2. ▪ Taylor級數
  3. ▪ 指數函數
  1. ▪ 二項式定理

差分算子基本概念

差分算子在數值積分、數值微分和微分方程的數值解中是很有用的。人們總是希望把非平穩時間序列變換成平穩序列，以便於用數學方法來處理，而最常用的變換是差分變換。 [1] 
對於序列
，其一階(向後)差分(first-order (backward) difference)定義為
，這裏
。
二階差分(second-order difference)定義為
類似地，p階差分為：
s期滯後差分為：
顯然，
；對於常數c，
。 [1] 

差分算子相關概念

假定所討論的函數都是無窮次可微分的實函數，
,令h表示函數自變量的最小增量，定義算子：
位移算子：
向前差分算子:
向後差分算子 :
中心差分算子：
微分算子：
平均算子：
這些算子都是線性的，因為下列等式對於任意的常數
和函數
皆成立：
任意兩個線性算子P與Q的和、積、冪由下列等式定義：
，n個因子.
當
對於一切函數
皆成立時，兩個算子P，Q為相等，即
。 [2] 

差分算子差分算子的若干性質

（1）
(C為常數)；
（2）
（3）

差分算子應用舉例

差分算子Taylor級數

利用算子，由通常的形式
得出
(1)

差分算子指數函數

等式(1)中方括號裏的式子是算子hD的指數函數
的冪級數展開式,由恆等式
得到下列關係：

差分算子二項式定理

向前差分算子的二次冪：
即
使人想到二項式定理。由
得
，對於任意的冪次，有等式
。 [2] 
參考資料
  • 1.    吳喜之，劉苗．應用時間序列分析 R軟件陪同：機械工業出版社，2014.07
  • 2.    W.BEITZ K.-H.KUTTNER主編；張維，張淑英等譯．DUBBEL 機械工程手冊 第一卷：清華大學出版社，1991.06