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小范疇
鎖定
- 中文名
- 小范疇
- 外文名
- small category
- 所屬學科
- 範疇論
- 相關概念
- 範疇、態射等
小范疇定義
小范疇範疇概念的發展歷程
範疇是從數學的各個領域中概括出來的一個高度抽象的數學系統。對範疇的系統研究起始於S.Eilenberg和S.MacLane在代數拓撲學中的工作,他們在1945年提出範疇、函子和自然變換等基本概念,其後,在1958年,D.Ken明確地定義並研究了伴隨函子和一般極限理論,在20世紀60、70年代,F.w.Iawvere將範疇方法論引入數學基礎領域,並與M.Tierney等建立了現代Topos理論,極大地推進了範疇理論的研究與應用。
這種理論在提出之後就普遍受到重視而迅速發展起來,並且被應用到數學和理論計算機科學的許多分支中,在數學和理論計算機科學中,範疇理論的概念和方法對於解釋和闡述抽象慨念,確定學科研究框架和建立不同分支之間的關聯等許多方面起着基本的重要作用。
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小范疇基本知識
定義1 一個範疇C由下列內容組成:
(1) 一個對象類
。
的元稱為C中的對象,通常用
等表示範疇的對象。
(2) 一個態射類
。
的元稱為C中的態射,對於C中對象的每個有序偶
,對應有惟一的一個集
,簡記作
,
中的元稱為C中以A為淪域,以B為餘論域的態射。
若
,則記作
或
有時也用
分別表示
的論域A、餘論域B。
(3) 對於C中對象的每個有序三元組
對應一個稱為合成(或複合)的映射
要求C中的對象和態射滿足下列公理:
(1)若
則
(2)若
則
(3)
使得
有
,
稱為A上的恆同態射。
小范疇相關知識
命題1 若A是範疇C中的對象,則A上的恆同態射是惟一的。
證明: 設
都是A上的恆同態射,則由恆同態射的定義,有
,這表明A上的恆同態射是惟一的。
定義2設C與D都是範疇,若
(1)ob(D)是ob(C)的子類:
(2)對於D中的任意對象A和B,有
並且D中態射的合成以及每一對象上的恆同態射都與C中相同,則稱D是C的子範疇。
若範疇D是範疇C的子範疇,並且對於D中的任意對象A和B有
則稱D是C的滿子範疇。
小范疇舉例分析
(3) KHausSp:緊
空間與連續映射的範疇。
(4)Grp:羣與同態的範疇。
(5)O:空範疇。
(6) 設X是集,則可以如下構造一個小范疇,其對象類是集X,並且僅有的態射是恆同映射,稱此範疇為離散(小)範疇。自然,該範疇可以與集等同看待。