實變函數論

《實變函數論/21世紀數學精編教材數學基礎課系列》從實變函數論的發展簡史出發，深入淺出地闡述了實變函數論的基本理論、基本問題和基本方法，《實變函數論/21世紀數學精編教材數學基礎課系列》共分為六章，內容包括：實變函數論發展簡史、集合與點集、可測集、可測函數、勒貝格積分理論和勒貝格意義下的微分與不定積分等。《實變函數論/21世紀數學精編教材數學基礎課系列》各部分主題鮮明，邏輯性強，內容的講解由淺入深，對基本概念的闡述透徹，着力將每個知識點與中學的數學知識和大學的數學分析知識聯繫起來，便於讀者比較與加深理解，增加對知識背景的認識。書中也極力滲透拓撲學思想及較勒貝格積分理論更加一般的積分理論，為後續課程的學習奠定基礎，書中每節配有適量的習題，其中既有對易於混淆的基礎知識的考查，也有更為深刻的結果。書末附有習題答案與提示，便於教師教學和學生自學。

《實變函數論/21世紀數學精編教材數學基礎課系列》既可作為高等院校數學與應用數學專業實變函數論課程的教材，也可作為非數學專業該課程的教學參考書，還可作為相關科研人員的參考書。 ^[1] 

第一章 實變函數論發展簡史

一、實變函數論產生的背景與意義

二、實變函數論的發展歷史

第二章 集合與點集

2.1 集合及其運算

一、集合的概念

二、集合的運算

三、域（代數）

四、集合列的上極限、下極限與極限

習題2.1

2.2 集合的基數

一、集合的對等與基數

二、可數集

習題2.2

2.3 不可數無窮集合

習題2.3

2.4 Rn中的點集

一、度量空間

二、鄰域與極限

三、與距離有關的其他概念

習題2.4

2.5 點的分類

一、內點、聚點、邊界點

二、孤立集與稠密集

習題2.5

2.6 開集、閉集及其構造

一、開集、閉集及其性質

二、一維開集、閉集、完備集的構造

三、康托爾集

四、Rn（n≥2）中的開集和閉集

習題2.6

第三章 可測集

3.1 勒貝格測度

一、勒貝格外測度

二、勒貝格內測度

三、勒貝格測度

習題3.1

3.2 可測集類與可測集的構造

一、博雷爾集的可測性

二、可測集的構造

習題3.2

3.3 乘積空間

習題3.3

第四章 可測函數

4.1 可測函數的概念及其簡單性質

一、可測函數的概念

二、可測函數的性質

三、可測函數與簡單函數的關係

習題4.1

4.2 可測函數列的幾種收斂性

一、幾乎處處收斂與一致收斂

二、幾乎處處收斂與依測度收斂

習題4.2

4.3 可測函數的構造——可測函數與連續函數的關係

一、魯金定理及其逆定理

二、可測函數的連續逼近——弗雷歇定理

習題4.3

第五章 勒貝格積分理論

5.1 黎曼積分回顧與勒貝格積分簡介

5.2 有界函數的勒貝格積分及其性質

一、小和與大和

二、勒貝格積分及其存在條件

三、勒貝格積分與黎曼積分的關係

四、 勒貝格積分的性質

習題5.2

5.3 一般可測函數的勒貝格積分

一、非負函數的勒貝格積分

二、一般函數的勒貝格積分

三、勒貝格積分的幾何意義

習題5.3

5.4 勒貝格積分的極限定理

一、勒貝格控制收斂定理及其推論

二、勒維定理

三、法都引理

四、三大極限定理的等價性

五、黎曼積分存在的充分必要條件

習題5.4

第六章 勒貝格意義下的微分與不定積分

6.1 基本概念

一、導數

二、勒貝格不定積分

三、有界變差函數

四、絕對連續函數

習題6.1

6.2 有界變差函數的可微性

一、單調函數的可微性

二、有界變差函數的可微性

習題6.2

6.3 勒貝格積分意義下的牛頓萊布尼茨公式

一、勒貝格積分意義下的積分上、下限函數及其性質

二、絕對連續函數的可微性——勒貝格積分意義下的牛頓-萊布尼茨公式

習題6.3

6.4 富比尼定理與分部積分公式

一、重積分與累次積分的關係

二、分部積分公式

習題6.4

名詞索引

參考文獻

習題答案與提示 ^[1]