實變函數論

《實變函數論（第2版）》是作者根據自己多年對實變函數論課程的學習與教學編寫的一部實變函數論教材。實變函數論是數學專業的一門重要的基礎課程。通過學習，學生能掌握近代抽象分析的基本思想，加深對數學分析知識的理解，深化對中學數學有關內容的認識，同時為今後學習泛函分析、函數論、概率論、微分方程、拓撲學等課程提供必要的測度論和積分論的基礎，併為進一步學習現代數學打下必要的基礎。

《實變函數論（第2版）》主要包括六部分，分別是集合及其基數、n維空間中的點集、測度理論、可測函數、積分理論和函數空間Lp。每章各節後均附習題，以便讀者學習和掌握實變函數論的基礎知識。

《實變函數論（第2版）》適用於高等院校數學系本科生、研究生學習，也可供其他有關學科學生、教師和科研工作人員參考和學習。

第1章 集合與點集

1.1 集合及其運算

1.1.1 集合的基本概念

1.1.2 集合的運算

1.1.3 集的分解

1.1.4 笛卡爾乘積集

1.1.5 域

1.1.6 集列的極限

習題1.1

1.2 映射與基數

1.2.1 映射的概念

1.2.2 對等

1.2.3 數的進位制簡介

1.2.4 伯恩斯坦定理

1.2.5 有限集、無限集及基數

習題1.2

閲讀材料1

1.3 可數集合

1.3.1 可數集的定義

1.3.2 可數集的性質

習題1.3

閲讀材料2

1.4 不可數集合

習題1.4

第2章 n維空間巾的點集

2.1 聚點、內點、邊界點、Bo1zano-Weierstrass定理

習題2.1

2.2 開集、閉集與完備集

2.2.1 稠密與疏朗

2.2.2 開集、閉集

2.2.3 開覆蓋、緊集

2.2.4 完備集

2.2.5 Bore1集

2.2.6 點集上的連續函數

習題2.2

2.3 一維開集、閉集、完備集的結構

習題2.3

2.4 點集間的距離

習題 2.4.

第3章 潮度論

3.1 開集的體積

習題3.1

3.2 點集的外測度

3.2.1 外測度的定義

3.2.2 外測度的性質

3.2.3 內測度

習題3.2

3.3 可測集及測度

3.3.1 可測集的定義

3.3.2 可測集的運算

3.3.3 可測集列的極限

3.3.4 Lebesgue（勒貝格）可測集的結構

3.3.5 勒貝格測度的平移、旋轉不變性

3.3.6 不可測集

習題3.3

3.4 乘積空間

習題3.4

第4章 可潮函數

4.1 可測函數的定義及其簡單性質

4.1.1 勒貝格可測函數的定義

4.1.2 勒貝格可測函數的性質

4.1.3 勒貝格可測函數列的極限

4.1.4 複合函數的可測性

習題4.1

4.2 可測函數的逼近定理

4.2.1 Egoroff（葉果洛夫）定理

4.2.2 Lusin（魯津）定理

4.2.3 依測度收斂

習題4.2

第5章 積分理論

5.1 非負函數的積分

5.1.1 測度有限的集上有界可測函數的積分

5.1.2 測度有限的集上一般函數的積分

5.1.3 測度無限的集上的Lebesgue積分

5.1.4 非負可測函數積分的幾何意義

5.1.5 積分的極限定理

習題5.1

5.2 可積函數

習題5.2

5.3 重積分與累次積分的關係

5.3.1 非負廣義實值可測函數情形

5.3.2 可積函數情形

習題5.3

5.4 微分與不定積分

5.4.1 單調函數

5.4.2 有界變差函數

5.4.3 絕對連續函數

習題5.4

第6章 Lp空間及抽象測度與積分

6.1 Lp空間

6.1.1 Lp空間的定義與不等式

6.1.2 Lp空間的結構

習題6.1

6.2 L2內積空間

6.2.1 內積正交系

6.2.2 廣義Fourier級數

6.2.3 L2（E）中的線性無關組

習題6.2

6.3 抽象測度與積分

6.3.1 集合環上的測度及擴張

6.3.2 可測函數及其積分

習題解析

附錄：各章 知識點概要

參考文獻