垂足三角形

垂足三角形是一種特殊三角形，指從三角形的三個頂點向對邊作垂線段(即高)，連結三個垂足所得的三角形。如圖1，

為

的高，則

是

的垂足三角形，如果一個三角形的三個頂點分別在另一個三角形的三條邊上，則該三角形稱為另一個三角形的內接三角形，鋭角三角形的垂足三角形必是它的內接三角形，在鋭角三角形的所有內接三角形中，以垂足三角形的周長為最短，該問題稱為施瓦茲三角形問題 ^[1]  。

如圖2，在鋭角三角形

中，

於D，

於E，

於F，則

叫

的垂足三角形。不難證明，原三角形的垂心是它的垂足三角形的內心：由

四點共圓，知

，即

是

的餘角。同理，由

四點共圓，知

，

也是

的餘角，所以

是

的平分線。同理

是

的平分線 ^[2]  。

如圖3，

的垂心H的切瓦三角形（見下文）或稱是它的射影三角形是垂足三角形(Orthic Triangle)，也稱為高線三角形，垂足

也是重心G的圓切瓦三角形，如圖3 ^[3]  。

垂足三角形各頂點的三線座標矩陣是

它的面積是

它的三條邊長是

對於鈍角和直角三角形，垂足三角形的半周長可以用下式表示

對於鋭角三角形有一簡化公式

在鋭角三角形中，任何內接三角形中以垂足三角形的周長最小。在

中，作出

三個三角形的共軛重心

，則它們分別在

的三條中線上，如圖4。

如果作出

的歐拉線，則三條歐拉線交於一點，該點在

的九點圓上。若該點定為P，則下列等式中必有一個成立

給定

及其平面上，但不在三角形邊上的一點P，聯結

交對應邊於

則

稱為P點關於

的切瓦三角形(Cevian Triangle)，如圖5。