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歐拉線
鎖定
歐拉線定義
如圖1,歐拉線(圖1中的紅線)是指過三角形的垂心(藍)、外心(綠)、重心(黃)和歐拉圓圓心(紅點)的一條直線。
歐拉線證法
歐拉線證法1
D,F為BC,AB中點,E,M為BC,AB上的垂足。求證:G在OH所在直線上。
證明:連結OG,再連結OF,OD.
∵O為△ABC的外心,OD⊥BC.又∵AH⊥BC,∴OD//HA,則∠ODG=∠HAG.①
連結FD,FD為△ABC的中位線,則DF:AC=1:2且DF∥AC,所以∠FDG=∠GAC.
②-①,得∠ODF=∠HAC.同理,∠OFD=∠HCA.∴△OFD∽△HCA.則OD:HA=DF:AC=1:2.③
G為重心,根據中線性質,GD:GA=1:2.④
又∠ODG=∠HAG.⑤
結合③④⑤△OGD∽△HGA,則∠OGD=∠AGH,
因為G在AD上,∴∠AGH+∠DGH=180°,則∠OGD+∠DGH=180°,即O、G、H三點共線,得證.
補充:
由上述過程,得到結論:GH=2GO,即HG=2/3HO,GO=1/3HO。令HO中點即九點圓圓心為Q,則QO=QH=1/2HO.
∴QG=QO-GO=1/6HO,則GO=2QG.
綜合概述,HO=2QO,HG=2GO ,GO=2QG.
取
歐拉線證法2
還是向量做法,
∵OD⊥AC
∴OD⊥EF
同理OE⊥DF,OF⊥DE
∴O是△DEF的垂心。
又EF∥AC,DF∥AB,DE∥BC且△ABC∽△DEF
∴向量HB=-2向量OD,向量HA=-2向量OF,向量HC=-2向量OE
∴向量HA+向量HB+向量HC=-2向量OD-2向量OE-2向量OF=-2向量OA-2向量OB-2向量OC
又向量BG=2/3向量BD=1/3(向量BA+向量BC)
同理向量CG=1/3(向量CA+向量CB),向量AG=1/3(向量AB+向量AC)
∴向量BG+向量AG+向量CG=向量0
向量HG=向量HA+向量AG=向量HB+向量BG=向量HC+向量CG
向量OG=向量OA+向量AG=向量OB+向量BG=向量OC+向量CG
∴3向量HG=向量HA+向量HB+向量HC,3向量OG=向量OA+向量OB+向量OC
∴向量HG=-2向量OG
歐拉線證法3
∴AH∥OM
連接OB、OC,易證∠BAC=∠BOC/2=∠COM
∴OM=OCcos∠COM=Rcos∠BAC(R是△ABC外接圓半徑)
又連接BH並延長交AC於D,則BD⊥AC
∴AH=AD/cos∠CAH=ABcos∠BAC/sin∠ACB=2Rcos∠BAC
∴AH=2OM
設OH和AM交於G,則△AHG∽△MOG
∴AG:GM=AH:OM=2:1
∴G是△ABC的重心,即O、H、G三點共線,且GH:GO=AG:GM=2:1
歐拉線應用
1 : 平面上共圓的5個點,任取其中3點組成三角形,過其重心作另外兩點連線的垂線,共有10條。則這10線交於一點。
證明:設5個點對應的向量分別是z1, z2, z3, z4, z5,且它們的模相等。
這樣經過三角形z3, z4, z5的重心,且垂直於z1, z2連線的直線方程就是
z(t) = (z3+z4+z5)/3 + t(z1+z2),其中t是任意實數。
取 t=1/3,就得到(z1+z2+z3+z4+z5)/3在這直線上。同理可得這點在所有這類直線上。
3:平面上共圓的5個點,任取其中3點組成三角形,過其九點圓圓心作另外兩點連線的垂線,共有10條。則這10線交於一點。
證明:第2,3個結論緣於以下事實:歐拉線上的四點中,九點圓圓心到垂心和外心的距離相等,而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。
4:在△ABC中,點D,E,F分別為邊BC,CA,AB的中點,連接 DE,EF,FD,則△ABC與△DEF 的歐拉線重合。