施瓦茲三角形問題

在已知的鋭角三角形內，作頂點分別在其三邊上的三角形，從中找出周長最短的一個，這是關於三角形的一個著名的極值問題，叫做施瓦茲(H.A.Schwarz)三角形問題。

可以證明，當內接三角形的頂點分別是已知鋭角三角形的三條高的垂足時，所求得的三角形的周長最短。

該問題是意大利伯爵C.Fagnano(1682～1766)的兒子J.F.Fagnano(1715～1797)於1775年提出的，他給出了一個要用到微積分的證明。由於H.A.Schwarz(1843~1921)第一個用完全初等的方法給出了一個十分漂亮的解法，所以許多人把此問題稱為Schwarz三角形問題，Schwarz的證明後來被美國人FrankMorley(1860~1931)推廣到2n+1邊形的情況。

在鋭角△ABC中，若D、E、F分別是三條高AD、BE、CF的垂足，則在△ABC的所有內接三角形中，垂足三角形DEF的周長最短 ^[2]  。

下面的證明源於H.A.Schwarz。

如圖1，設△DEF是△ABC的垂足三角形，△PQR是任意內接三角形，將△ABC(連同△DEF、△PQR)作關於AC邊的反射，再把所得圖形(△AB'C)作關於B'C邊的反射，再把所得圖形(△A’B’C)作關於A'B'邊的反射，再將所得圖形(△A'B’C’)作關於A'C'邊的反射，最後再把所得圖形(△A'B''C')作關於B"C’邊的反射，得△A"B"C'，經過這樣五次反射後，我們得到如圖1所示的連接在一起的六個全等的三角形(與△ABC全等)，以及分別與△DEF、OPQR相應的一系列內接三角形。

由於第一次反射使

按逆時針方向旋轉了角度2A，第二次反射使

按逆時針方向旋轉了角度2B，第三次反射時

方向沒有變化，第四次、第五次反射中

及

分別按順時針方向旋轉了2A和2B，故經過上述五次反射後，

的方向沒有變化，所以A"B" // AB。

由於垂足三角形DEF有這樣一個特殊性質：它的兩邊與△ABC的相應邊成等角(即∠BDF=∠EDC，∠ DEC =∠FEA，∠EFA=∠DFB )，所以經第一次反射後，與DE相應的線段ED'在FE的延長線上，經第二次反射後，與DF相應的線段D'F"也在FE的延長線上，經第三次反射後，與EF相應的線段

F'E'也在FE的延長線上，以後兩次反射也是如此，DE、DF的相應線段E'D"、D"F"都在FE的延長線上。因此，FED'F'E'D"F"是一直線段，且FF"等於△DEF的周長的兩倍。

再來觀察任意內接三角形PQR經上述五次反射後得到的圖形，發現折線RQP'R'Q'P"R"的長度是△PQR的周長的兩倍。顯然該折線的長度不短於RR"，即△PQR的周長的兩倍不短於RR"，由F"R" 平行且等於FR知RR"= FF"，可見△PQR的周長不短於△DEF的周長 ^[2]  。

下面是Fagnano問題的另一種解法，這一解法屬於法國的小Gabriel-Marie。

設△XYZ內接於△ABC，作出點X關於AB、AC的對稱點X₁、X₂，則ZX₁= ZX，YX₂= YX，折線X₁ZYX₂的長度等於△XYZ的周長。顯然，對於某個固定的點X，只有當Y、Z在線段X₁X₂上時，△XYZ的周長才能最小，其最小值為X₁X₂的長度，又由於AX₁= AX₂= AX，∠X₁AX₂=2A (定角)，

，X₁X₂的長度取決於AX的長度，只有當AX⊥BC時，X₁X₂才有最小值，因此，要使△XYZ的周長最短，必須AX⊥BC，同理，必須BY⊥AC，CZ⊥AB。故周長最短的內接三角形是△ABC的垂足三角形 ^[2]  。