均勻設計

均勻設計是基於試驗點在整個試驗範圍內均勻散佈的，從均勻性角度出發提出的一種試驗設計方法。它是數論方法中的“偽蒙特卡羅方法”的一個應用，由方開泰和王元兩位數學家於1978 年創立。

所有的試驗設計方法本質上都是在試驗的範圍內給出挑選代表性點的方法，均勻設計也是如此。它能從全面試驗點中挑選出部分代表性的試驗點，這些試驗點在試驗範圍內充分均衡分散，但仍能反映體系的主要特徵。例如，正交設計是根據正交性來挑選代表點，它在挑選代表點時有兩個特點：均勻分散、整齊可比。“均勻分散”使試驗點均衡地布在試驗範圍內，讓每個試驗點有充分的代表性，因此，即使在正交表中各列都排滿的情況下，也能得到滿意的結果；“整齊可比”性使試驗結果的分析十分方便，易於估計各因素的主效應和部分交互效應，從而可分析各因素對指標影響的大小及指標的變化規律。但是，為了照顧“整齊可比"，正交設計的試驗點並沒有能做到充分“均勻分散”，而為了達到“整齊可比”，也使得其試驗布點的數目比較多。它必須至少要做次試驗（為因素的水平數）。而對於均勻設計，尤其在條件範圍變化大而需要進行多水平試驗的情況下，均勻設計可極大地降低試驗的次數，它只需要與因素水平數相等次數的次試驗即可達到正交設計的至少做次試驗所能達到的試驗效果。

均勻設計只考慮試驗點在試驗範圍內充分“均勻散佈”而不考慮“整齊可比”，因此試驗的結果沒有正交試驗結果的整齊可比性，其試驗結果的處理多采用迴歸分析方法。 ^[1] 

所有的試驗設計方法本質上都是在試驗的範圍內給出挑選代表性點的方法， 方開泰、王元完成的“均勻試驗設計的理論、方法及其應用”，首次創立了均勻設計理論與方法，揭示了均勻設計與古典因子設計、近代最優設計、超飽和設計、組合設計深刻的內在聯繫，證明了均勻設計比上述傳統試驗設計具有更好的穩健性。該項工作涉及數論、函數論、試驗設計、隨機優化、計算複雜性等領域，開創了一個新的研究方向，形成了中國人創立的學派，並獲得國際認可，已在國內外諸如航天、化工、製藥、材料、汽車等領域得到廣泛應用。

均勻設計是繼60年代華羅庚教授倡導、普及的優選法和我國數理統計學者在國內普及推廣的正交法之後，於70年代末應航天部第三研究院飛航導彈火控系統建立數學模型、並研究其諸多影響因素的需要，由中國科學院應用數學所方開泰教授和王元教授提出的一種試驗設計方法。均勻設計是統計試驗設計的方法之一，它與其它的許多試驗設計方法，如正交設計、最優設計、旋轉設計、穩健設計和貝葉斯設計等相輔相成。

我們知道，試驗設計就是如何在試驗域內最有效地選擇試驗點，通過試驗得到響應的觀測值，然後進行數據分析求得達到最優響應值的試驗條件。因此，試驗設計的目標，就是要用最少的試驗取得關於系統的儘可能充分的信息。均勻設計即可以較好地實現這一目標，尤其對多因素、多水平的試驗。

均勻設計的數學原理是數論中的一致分佈理論，此方法借鑑了“近似分析中的數論方法”這一領域的研究成果，將數論和多元統計相結合，是屬於偽蒙特卡羅方法的範疇。均勻設計只考慮試驗點在試驗範圍內均勻散佈，挑選試驗代表點的出發點是“均勻分散”，而不考慮“整齊可比”，它可保證試驗點具有均勻分佈的統計特性，可使每個因素的每個水平做一次且僅做一次試驗，任兩個因素的試驗點點在平面的格子點上，每行每列有且僅有一個試驗點。它着重在試驗範圍內考慮試驗點均勻散佈以求通過最少的試驗來獲得最多的信息，因而其試驗次數比正交設計明顯的減少，使均勻設計特別適合於多因素多水平的試驗和系統模型完全未知的情況。例如，當試驗中有m個因素，每個因素有n個水平時，如果進行全面試驗，共有n∧m種組合，正交設計是從這些組合中挑選出n∧2個試驗，而均勻設計是利用數論中的一致分佈理論選取n個點試驗，而且應用數論方法使試驗點在積分範圍內散佈得十分均勻，並使分佈點離被積函數的各種值充分接近，因此便於計算機統計建模。如某項試驗影響因素有5個，水平數為10個，則全面試驗次數為10∧5次，即做十萬次試驗；正交設計是做10∧2次，即做100次試驗；而均勻設計只做10次，可見其優越性非常突出。

均勻設計是通過一套精心設計的表來進行試驗設計的，對於每一個均勻設計表都有一個使用表，可指導如何從均勻設計表中選用適當的列來安排試驗。均勻設計分會還編制了一套軟件《均勻設計與統計調優軟件包》供試驗設計和數據處理、分析使用，非常方便。均勻設計法的試驗數據分析要用到迴歸分析方法，例如線性迴歸模型、二次迴歸模型、非線性迴歸模型，以及各種選擇迴歸變點的方法，也有利用多元樣條函數技術、小波理論、人工神經網絡模型應用於試驗設計和數據分析。具體選擇何種模型要根據實際試驗的具體性質來確定。利用迴歸分析得出的模型，即可進行影響因素的重要性分析及新條件試驗的結果估算，預報和最優化。

近幾年來，均勻設計理論研究突飛猛進，對均勻設計和其它試驗設計的關聯和結合，如與正交設計進行了均勻性、最優性比較研究，得出在大多數情況下，特別是模型比較複雜時，均勻設計試驗次數少、均勻性好，並對非線性模型有較好的估計。對線性模型，均勻設計有較好的均勻性和較少的試驗次數，正交設計有較好的估計。雖然均勻設計失去了正交設計的整齊可比性，但在選點方面比正交設計有更大的靈活性，也就是説，它更加註重了均勻性．利用均勻設計可以選到偏差更小的點，更重要的是，試驗次數由n²減少到n，從而在實踐中大大降低了成本。從經濟和優化兩個角度衡量，均勻設計確實有其優越性。實踐中若水平數多，因素多而要求試驗次數少的設計，一般用均勻設計來安排試驗；對於因素數，水平數不多，一般採用正交設計。有時，可以將正交設計和均勻設計結合起來使用。

有論文對均勻設計經濟效益評估數理模型進行了探討，並與全面試驗、正交設計作了比較。也有論文對均勻設計的優良性進行了研究，指出還有待進一步發掘，對均勻性本身也還有很多數學背景值得進一步研究。也有論文認為利用模糊理論與均勻設計結合，建立模糊集合數據羣，再通過因素與水平選擇，建立模糊模擬均勻設計表，進行數據統計分析、調優，反向推斷。這種模糊理論—— 均勻設計——統計調優的有機結合對某些項目的反設計會有廣闊的應用前景。對應用中的一些問題，如因素與水平的選擇 模型的建立提出了很好的建議，指出一個試驗成功的關鍵在於選擇合適的因素和有關的試驗範圍，如果重要的因素沒有選入試驗，則試驗效果將大受影響，甚至失敗，因而在不增加試驗數目的前提下，儘可能多選出一些因素，通過試驗來篩選}並採用多水平試驗以獲得因素和響應之間較為豐富的關係，否則因素主效應和交互效應將會混雜，不能估出，直接影響試驗的效果。對模型未知（包括部分模型已知）時，應進行適當的重複試驗有助於模型識別，尤其當隨機誤差很大時，沒有適當的重複試驗，很難得到可靠的結論．從應用的角度，對理論研究也提出了新的需求，希望能設計出水平數更多的均勻設計表。

例如某化工試驗，欲找出最優產量或其它優化目標條件。試驗因素3個，每因素在取值範圍內均有7個試驗點。

採用優選法：對多因素同時選優的試驗，不適用。

採用正交法：需做49次試驗，方可找出最優產量或其它優化目標條件。

採用均勻設計：只需做7次試驗即可。

自動將各試驗因素分類為重要與次要，並將因素按重要性排序。

通過電腦對結果與因素條件進行界定與預報（如天氣預報），進而控制各因素。

1、明確試驗目的, 確定試驗指標。若考察的指標有多個則一般需要對指標進行綜合分析;

2、選擇試驗因素。根據專業知識和實際經驗進行試驗因素的選擇, 一般選擇對試驗指標影響較大的因素進行試驗;

3、確定因素水平。根據試驗條件和以往的實踐經驗, 首先確定各因素的取值範圍, 然後在此範圍內設置適當的水平;

4、選擇均勻設計表, 排布因素水平。根據因素數、水平數來選擇合適的均勻設計表進行因素水平數據排布;

5、明確試驗方案, 進行試驗操作;

6、試驗結果分析。建議採用迴歸分析方法對試驗結果進行分析進而發現優化的試驗條件。依試驗目的和支持條件的不同也可採用直接觀察法取得最好的試驗條件(不再進行數據的分析處理);

7、優化條件的試驗驗證。通過迴歸分析方法計算得出的優化試驗條件一般需要進行優化試驗條件的實際試驗驗證(可進一步修正迴歸模型);

8、縮小試驗範圍進行更精確的試驗, 尋找更好的試驗條件, 直至達到試驗目的為止。

1、當所研究的因素和水平數目較多時, 均勻設計試驗法比其它試驗設計方法所需的試驗次數更少, 但不可過分追求少的試驗次數, 除非有很好的前期工作基礎和豐富的經驗, 否則不要企圖通過做很少的試驗就可達到試驗目的, 因為試驗結果的處理一般需要採用迴歸分析方法完成, 過少的試驗次數很可能導致無法建立有效的模型, 也就不能對問題進行深入的分析和研究, 最終使試驗和研究停留在表面化的水平上(無法建立有效的模型, 只能採用直接觀察法選擇最佳結果)。一般情況下, 建議試驗的次數取因素數的3～5倍為好;

2、優先選用表進行試驗設計。通常情況下表的均勻性要好於Un表, 其試驗點布點均勻, 代表性強, 更容易揭示出試驗的規律, 而且在各因素水平序號和實際水平值順序一致的情況還可避免因各因素最大水平值相遇所帶來的試驗過於劇烈或過於緩慢而無法控制的問題;

3、對於所確定的優化試驗條件的評價, 一方面要看此條件下指標結果的好壞, 另一方面要考慮試驗條件是否合理可行的問題, 要權衡利弊, 力求達到用最小的付出獲取最大收益的效果。

回顧幾十多年來均勻設計法的誕生、發展和廣泛應用，有如下幾個鮮明的特點：

(1)均勻設計法的誕生是應國防科研實踐的需求，由我國科學家潛心研究、開發的，其來自於實踐，又應用於實踐，實踐促進研究，研究又進一步指導實踐，理論研究與實踐應用相輔相成，互為依存、互相促進，創造更大效益；

(2)均勻設計法的創立和實際應用的意義，錢學森、朱光亞等老一輩科學家以其敏鋭的科學目光和判斷，給予了高度評價，同時也得到了原國防科工委領導的重視和支持．專家和領導的支持、重視是一項新技術快速發展的必不可少的重要條件；

(3)1994年成立了中國數學會均勻設計分會，原國防科工委將均勻設計法的推廣應用納入“八五”國防科技成果重點項目推廣計劃，有力地推動了均勻設計法的發展；

(4)均勻設計法的理論研究和推廣應用也得益於各部門領導的支持以及專家與廣大科技工作者科學求實、積極不懈地努力；

(5)學會與各地區、各部門相結合，開發均勻設計軟件、攝製推廣錄像片、進行技術培訓和學術交流，推動了均勻設計法的理論研究和應用實踐。

均勻設計正是由於上述的理論與實踐結合、領導與羣眾結合、專家與廣大科技工作者結合、行政組織與學會結合，不斷髮展、完善，不斷拓展新的應用領域，為增強我國的經濟實力和國防科技的發展做出了很大貢獻。今後，應進一步發揮學會組織和各地區、各部門的力量，調動各方面的積極性，充分利用互聯網的優勢，相互支持、密切協同，有組織、有計劃地使均勻設計的理論研究與實踐應用取得更大的發展，為國民經濟和國防現代化做出更大的貢獻。