合成代數

數學的一個分支。傳統的代數用有字符 (變量) 的表達式進行算術運算，字符代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外)，則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一個代數方程式 (參見EQUATION)是通過使多項式等於零來表示對變量所加的條件。如果只有一個變量，那麼滿足這一方程式的將是一定數量的實數或複數——它的根。一個代數數是某一方程式的根。代數數的理論——伽羅瓦理論是數學中最令人滿意的分支之一。建立這個理論的伽羅瓦(Evariste Galois，1811-32)在21歲時死於決鬥中。他證明了不可能有解五次方程的代數公式。用他的方法也證明了用直尺和圓規不能解決某些著名的幾何問題(立方加倍，三等分一個角)。多於一個變量的代數方程理論屬於代數幾何學，抽象代數學處理廣義的數學結構，它們與算術運算有類似之處。參見，如： 布爾代數(BOOLEAN ALGEBRA);羣 (GRO-UPS);矩陣(MATRICES);四元數(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。這些結構以公理 (見公理法 AXIOMATICMETHOD) 為特徵。特別重要的是結合律和交換律。代數方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作，已滲入數學的各分支。

設K為一交換體. 把K上的向量空間E叫做K上的代數，或叫K-代數，如果賦以從E×E到E中的雙線性映射.換言之，賦以集合E由如下三個給定的法則所定義的代數結構： ^[2] 

——記為加法的合成法則(x，y)↦x+y;

——記為乘法的第二個合成法則(x，y)↦xy;

——記為乘法的從K×E到E中的映射(α，x)↦αx，這是一個作用法則;

這三個法則滿足下列條件：

a) 賦以第一個和第三個法則，E則為K上的一個向量空間;

b) 對E的元素的任意三元組(x，y，z)，有

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)對K的任一元素偶(α，β)及對E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

設A為一非空集合. 賦予從A到K中的全體映射之集ℱ(A，K)以如下三個法則：

則ℱ(A， K)是K上的代數， 自然地被稱為從A到K中的映射代數.當A=N時， 代數ℱ(A，K)叫做K的元素序列代數.

無論是在代數還是在分析中，代數結構都是最常見到的結構之一。十九世紀前半葉末，隨着哈密頓四元數理論的建立，非交換代數的研究已經開始。在十九世紀下半葉，隨着M.S.李的工作，非結合代數出現了。到二十世紀初，由於放棄實數體或複數體作為算子域的限制，代數得到了重大擴展。

與外代數，對稱代數，張量代數，克利福德代數等一起，代數結構在多重線性代數中也建立了起來。 ^[3] 

一種特殊的線性空間。即線性空間的線性函數空間。設V是域P上的線性空間，V的所有線性函數構成的域P上的線性空間，稱為V的對偶空間，記為V(即Hom_P(V，P)).當dim V=n，並且ε₁，ε₂，…，ε_n是V的基時，由等式ε_i(ε_j)=δ_ij(i，j=1，2，…，n)所確定的n個線性函數ε₁，ε₂，…，ε_n是V的基，稱為基ε₁，ε₂，…，ε_n的對偶基。由上知，當dim V=n有限時，dim V=dim V=n;但當dim V無限時，二者不再相等，即它們的基元素不再是一一對應的。

代數張量積是構造新代數的一種重要方法。兩個R代數A，B作為R模的張量積A

_RB是由{x

y|x∈A，y∈B}生成的R模，並具有泛性質(即對任一R代數P，作為模若Φ：A×B→P是R模雙線性平衡映射，則存在惟一的R模同態φ：A

_RB→P，使得對任意x∈A，y∈B恆有φ(x

y)=Φ(x，y))，於是，在A

_RB中存在一個乘法運算滿足：

(x₁y₁)(x₂y₂)=x₁x₂y₁y₂

(x₁，x₂∈A;y₁，y₂∈B)，

且在此乘法下A

_RB成為R結合代數，稱為A，B的張量積。當A，B有單位元時，1=1_A1_B為A

_RB的單位元。由於R代數的張量積也是R模的張量積，因此，R模張量積的性質作為代數張量積也成立。此外，還有

(A

B)

C

A

(B

C)，

(A⊕B)

C

A

C⊕B

C，

R

A

A

R

A.

張量積對研究代數結構有重要意義。例如，域F上有限維單代數恆為F上n階全陣代數F_n與F上可除代數D的張量積。從而將有限維單代數的研究歸結為可除代數的研究。

合成代數是一類特殊的代數。它是一對對偶空間的張量積所成的代數。若E*，E是域K上的對偶空間，對任意的x，y∈E，x*，y*∈E*，由：

定義空間

的乘法，則EE是一個非交換的結合代數，稱為E*與E的合成代數。

幾個早期作者注意到了平方和的組成。 Diophantus意識到涉及兩個平方的總和的性質，現在稱為“Brahmagupta-斐波納契”（Brahmagupta-Fibonacci）性質，這也被稱為複數的歐幾里得規範的屬性。 Leonhard Euler在1748年討論了四平方的身份，並引導W. R. Hamilton建立了四維數的四維代數。1848年，描述了一些給雙重複數的第一個光子。

約1818年，丹麥學者費迪南德·德根（Ferdinand Degen）展示了德根的八平方釐米特性，後來與八項代數元素的規範相聯繫：

歷史上，第一個非關聯代數，Cayley數...出現在二次形式的數論問題的上下文中，允許組合...這個數論問題可以轉化成一個關於某些代數系統，合成代數的問題。

在1919年，倫納德·迪克森（Leonard Dickson）通過對該日期的努力進行了調查，提出了對赫爾維茨問題的研究，並展示了將四元數加倍以獲得凱利數字的方法。他引入了一個新的虛構單位e，對於四元數q和Q寫出一個Cayley數q + Qe。用q'表示四元數共軛，兩個Cayley數的乘積為：

Cayley數的共軛是q'-Qe，二次形式是qq'+ QQ'，通過將該數乘以其共軛而獲得。加倍方法已經被稱為Cayley-Dickson構造法。

在1923年，具有正定形式的真正代數的情況由赫爾維茨定理（合成代數）界定。

在1931年，Max Zorn在Dickson結構中的乘法規則中引入了一個伽馬（γ），以產生分裂八次。阿德里安·阿爾伯特（Adrian Albert）在1942年也使用了伽馬，當時他表明，迪克森加倍可以應用於具有平方函數的任何領域，以二次形式構建二元數組，四元數和八次代數。內森·雅各布森（Nathan Jacobson）在1958年描述了合成代數的自動化。

R和C域上的經典合成代數是單位代數。沒有乘法性質的合成代數由H.P. Petersson（Petersson代數）和Susumu Okubo（Okubo algebras）等。 ^[4]