可除代數

可除代數(division algebra)平行於除環的一類重要代數。若R代數A的每個非零元在A中恆有逆元，即A* =A\{0}是乘羣，則稱A是R可除代數。R是域時，R可除代數簡稱可除代數。代數閉域F上有限維可除代數只有F自身。而實數域R上有限維可除代數有且僅有實數域、複數域與四元數可除代數三種，這是有限維可除代數著名的弗羅貝尼烏斯結構定理。 ^[1] 

代數是數學的一個分支。傳統的代數用有字符 (變量) 的表達式進行算術運算，字符代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外)，則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一個代數方程式 (參見EQUATION)是通過使多項式等於零來表示對變量所加的條件。如果只有一個變量，那麼滿足這一方程式的將是一定數量的實數或複數——它的根。一個代數數是某一方程式的根。代數數的理論——伽羅瓦理論是數學中最令人滿意的分支之一。建立這個理論的伽羅瓦(Evariste Galois，1811-32)在21歲時死於決鬥中。他證明了不可能有解五次方程的代數公式。用他的方法也證明了用直尺和圓規不能解決某些著名的幾何問題(立方加倍，三等分一個角)。多於一個變量的代數方程理論屬於代數幾何學，抽象代數學處理廣義的數學結構，它們與算術運算有類似之處。參見，如： 布爾代數(BOOLEAN ALGEBRA);羣 (GRO-UPS);矩陣(MATRICES);四元數(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。這些結構以公理 (見公理法 AXIOMATICMETHOD) 為特徵。特別重要的是結合律和交換律。代數方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作，已滲入數學的各分支。 ^[2] 

設K為一交換體. 把K上的向量空間E叫做K上的代數，或叫K-代數，如果賦以從E×E到E中的雙線性映射.換言之，賦以集合E由如下三個給定的法則所定義的代數結構：

——記為加法的合成法則(x，y)↦x+y;

——記為乘法的第二個合成法則(x，y)↦xy;

——記為乘法的從K×E到E中的映射(α，x)↦αx，這是一個作用法則;

這三個法則滿足下列條件：

a) 賦以第一個和第三個法則，E則為K上的一個向量空間;

b) 對E的元素的任意三元組(x，y，z)，有

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)對K的任一元素偶(α，β)及對E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

設A為一非空集合. 賦予從A到K中的全體映射之集ℱ(A，K)以如下三個法則：

則ℱ(A， K)是K上的代數， 自然地被稱為從A到K中的映射代數。當A=N時， 代數ℱ(A，K)叫做K的元素序列代數。

無論是在代數還是在分析中，代數結構都是最常見到的結構之一。十九世紀前半葉末，隨着哈密頓四元數理論的建立，非交換代數的研究已經開始. 在十九世紀下半葉，隨着M.S.李的工作，非結合代數出現了. 到二十世紀初，由於放棄實數體或複數體作為算子域的限制，代數得到了重大擴展。

與外代數，對稱代數，張量代數，克利福德代數等一起，代數結構在多重線性代數中也建立了起來。 ^[3] 

環是抽象代數的一個基本概念。如果在一個非空集合S中，定義了兩種代數運算：“加法”與“乘法”，S關於加法構成交換羣，關於乘法滿足結合律及對於加法的分配律，就稱集合S關於所定義的運算構成一個環。如果乘法還滿足交換律，就稱為交換環。以數為元素的環，稱為數環。例如，整數的全體或有理數的全體都構成環，但正整數的全體就不是環，因為對加法，它不存在元素零及逆元素(負整數)。

對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：

的全體構成的集類，則F是R上的一個環.環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。 ^[4] 

亦稱體或斜域。接近於域的一類條件很強的環。設R是一個有單位元的環.若R中至少含有一個非零元，且每個非零元都是可逆元，則稱R為除環。交換的除環是域。

除環（division ring），又譯反稱域或體（skew field）、體，是如下定義的一個環：

至少有一個非零元素，這些非零元素稱為單位(Unit)。

非零元素都存在逆元素（左逆元素與右逆元素）。

它和域（field）的區別在於除環不必要符合交換律。所有域都是除環。不符合交換律的除環（斜體），例子有四元數體。

弗羅貝尼烏斯定理是可除代數的一個重要定理。該定理是特徵對合分佈的一個著名定理。該定理斷言：C流形上的C分佈D為對合的充分必要條件為它是完全可積的。在任一座標圖(U，φ，x)上，l維分佈D等價於普法夫方程組φ_t=0，其中t=l+1，l+2，…，n(=dim M)，D為對合等價於外微分方程組： ^[5] 

dφ_t=0 mod(φ_l+1，φ_l+2，…，φ_n);

而D為完全可積則等價於子流形：

{x∈U|x=const， l+1≤t≤n}

適合普法夫方程組φ_t=0。這樣的普法夫方程組也稱為是完全可積的。因此，弗羅貝尼烏斯定理也可以敍述為：普法夫方程組ω_α=0 (1≤α≤m)完全可積的充分必要條件是dω_α=0 mod(ω₁，ω₂，…，ω_m)。