半本原環

半本原環亦稱半單環，一類重要的環。若環R的雅各布森根J(R)=0，則R稱為半本原環，又稱雅各布森半單環。一個環R是半本原環的充分必要條件是R為本原環的亞直和。 ^[1] 

[left primitive ring]

對於環 R ，若存在忠實單左 R 模，則稱 R 為左本原環。左阿廷環為左本原環當且僅當其為單環，當且僅當其為素環。

設 M 是除環 D 上的右向量空間，R為End（

）的子環。若對於任意正整數 n 及 M 中任意兩組元素

及

其中

是D- 線性無關的，都有

使得

則稱 R 是 M 上的稠密線性變換環（dense ring of linear transformations）。

雅各布森稠密性定理（Jacobson's density theorem）：

設 R 為左本原環，M 為忠實單左 R 模，

，則 R 是

上的稠密線性變換環。

若環 R 的理想 P 滿足 R/P 為左本原環，則稱 P 為 R 的左本原理想（left primitive ideal）。類似地，可定義右本原環（right primitive ring）、右本原理想（right primitive ideal）。

左（右）本原理想恰為一左（右）單模的零化子。若環 R 沒有左（右）本原理想（或左（右）單模），則 R 的所有左（右）本原理想的交恰為環 R 的雅各布森根。若環 R 的雅各布森根為零，則稱 R 為半本原環（semiprimitive ring）。環 R 為半本原環當且僅當 R 為左（右）本原環的次直積。

在抽象代數之分支環理論中，一個環R的雅各布森根（Jacobson radical）是R的一個理想，包含在某種意義上“與零接近”的那些元素。雅各布森根是雅各布森(Jacobson,N.)於1945年引入的。