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半徑

（數學幾何中的術語）

鎖定
在古典幾何中，圓或圓的半徑是從其中心到其周邊的任何線段，並且在更現代的使用中，它也是其中任何一個的長度。 這個名字來自拉丁半徑，意思是射線，也是一個戰車的輪輻。半徑的複數可以是半徑（拉丁文複數）或常規英文複數半徑。半徑的典型縮寫和數學變量名稱為r。 通過延伸，直徑d定義為半徑的兩倍：d=2r。所以説，半徑是指連接圓心到圓周上任意一點或球心到球面上任意一點的直線。 [7] 
中文名
半徑
外文名
radius
別    名
定長
類    型
數學幾何中的術語
定    義
圓上最長的兩點間距離的一半
符    號
r
在座標系中使用
極座標、圓柱座標、球面座標
計算方法1
半徑=直徑÷2
計算方法2
半徑=弧長÷｜弧度｜（僅用在圓中）

目錄

  1. 1 簡介
  2. 2 在座標系中使用
  3. ▪ 極座標
  4. ▪ 圓柱座標
  5. ▪ 球面座標
  6. 3 性質

半徑簡介

如果物體沒有中心，則該術語可能指其周長，其外接圓的半徑或外接球體。 在任一情況下，半徑可以大於直徑的一半，通常將其定義為圖中任何兩個點之間的最大距離。 幾何圖形的半徑通常是其中包含的最大圓或球的半徑。 環，管或其他中空物體的內半徑是其空腔的半徑 [1-2]  。
對於常規多邊形，半徑與其周長相同。正多邊形的內半徑也稱為心距。在圖論中，圖的半徑是從u到圖的任何其他頂點的最大距離的所有頂點u的最小值。
具有周長（圓周）C的圓的半徑為：
或者，這可以表示為
τ等於2π，儘管這還沒有獲得主流使用。 [3] 

半徑在座標系中使用

半徑極座標

極座標系是二維座標系，其中平面上的每個點由固定點的距離和與固定方向的角度確定。
固定點（類似於笛卡爾系統的原點）被稱為極點，固定方向的極點的射線是極座標軸。距離極點的距離稱為徑向座標或半徑，角度為角座標，極角或方位角。 [4] 

半徑圓柱座標

在圓柱座標系中，有一個選擇的參考軸和垂直於該軸的選定的參考平面。系統的起點是所有三個座標可以給出為零的點。這是參考平面和軸之間的交點。
軸被不同地稱為圓柱形或縱向軸線，以便將其與位於參考平面中的射線（從原點開始並指向參考方向）區分開。
與軸的距離可以稱為徑向距離或半徑，而角座標有時稱為角位置或方位角。半徑和方位角共同稱為極座標，因為它們對應於平面中平行於參考平面的平面中的二維極座標系。第三個座標可以稱為高度或高度（如果參考平面被認為是水平的），縱向位置或軸向位置。 [5] 

半徑球面座標

在球面座標系中，半徑表示點與固定原點的距離。如果進一步由在徑向和固定天頂方向之間測得的極角以及方位角（即通過原點的參考平面上的正交投影的正交投影之間的角度）正交的位置，到天頂，並在該平面上固定參考方向。 [6] 

半徑性質

性質一：
在同一個圓中直徑的長度是半徑的2倍，可以表示d=2r或r=d/2
證明：設有直徑AB,根據直徑的定義，圓心O在AB上。∵AO=BO=r，∴AB=2r
並且，在同一個圓中弦長為半徑2倍的弦都是直徑。即若線段d=2r（r是半徑長度），那麼d是直徑。
反證法：假設AB不是直徑，那麼過點O作直徑AB',根據上面的結論有AB'=2r=AB
∴∠ABB'=∠AB'B（等邊對等角）
又∵AB'是直徑，∴∠ABB'=90°（直徑所對的圓周角是直角）
那麼△ABB‘中就有兩個直角，與內角和定理矛盾
∴假設不成立，AB是直徑
性質二：
在同一個圓中直徑是最長的弦。
證明：設AB是⊙O的直徑，CD是非直徑的任意一條弦，則可證明AB>CD恆成立。
連接OC、OD，根據圓的定義，OA=OB=OC=OD=半徑
∵CD不是直徑
∴CD不經過圓心O，即O、C、D三點可以構成三角形
在△OCD中，根據三角形三邊關係可知OC+OD>CD
∵OA=OB=OC=OD
∴OA+OB>CD
即AB>CD
參考資料
  • 1.    Barnett Rich, Christopher Thomas (2008), Schaum's Outline of Geometry, 4th edition, 326 pages. McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-154412-7, ISBN 978-0-07-154412-2. Online version accessed on 2009-08-08.
  • 2.    Jonathan L. Gross, Jay Yellen (2006), Graph theory and its applications. 2nd edition, 779 pages; CRC Press. ISBN 1-58488-505-X, 9781584885054. Online version accessed on 2009-08-08.
  • 3.    Hartl, Michael. The Tau Manifesto. http://www.tauday.com/tau-manifesto
  • 4.    Brown, Richard G. (1997). Andrew M. Gleason, ed. Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis. Evanston, Illinois: McDougal Littell. ISBN 0-395-77114-5.
  • 5.    Krafft, C.; Volokitin, A. S. (1 January 2002). "Resonant electron beam interaction with several lower hybrid waves". Physics of Plasmas. 9 (6): 2786–2797. Bibcode:2002PhPl....9.2786K. ISSN 1089-7674. doi:10.1063/1.1465420. Retrieved 9 February 2013. ...in cylindrical coordinates (r,θ,z) ... and Z=vbzt is the longitudinal position...
  • 6.    Alexander Groisman and Victor Steinberg (1997), Solitary Vortex Pairs in Viscoelastic Couette Flow. Physical Review Letters, volume 78, number 8, 1460–1463. doi:10.1103/PhysRevLett.78.1460 "[...]where r, θ, and z are cylindrical coordinates [...] as a function of axial position[...]"
  • 7.    半徑  ．百度漢語[引用日期2023-07-17]