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勒讓德符號
鎖定
勒讓德符號定義
| 如果 
|
如果 
，且對於某個整數 
| |
如果不存在整數 x，使得 
。 |
a等於0、1、2、……時的週期數列(a|p)，又稱為勒讓德數列，有時把{0,1,-1}的數值用{1,0,1}或{0,1,0}代替。
勒讓德符號公式
勒讓德原先把他的符號定義為：
除了這個基本公式以外，還有許多其它(a|p)的表達式，它們當中有許多都在二次互反律的證明中有所使用。
高斯證明了如果
，那麼：
這是他對二次互反律的第四個、第六個，以及許多後續的證明的基礎。參見高斯和。
克羅內克的證明是建立了
然後把p和q互換。
艾森斯坦的一個證明是從以下等式開始：
把正弦函數用橢圓函數來代替，他也證明了三次和四次互反律。
勒讓德符號其它公式
斐波那契數1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ……由遞推公式F1= F2= 1，Fn+1= Fn+ Fn-1定義。
如果p是素數，則：
例如：
勒讓德符號性質
勒讓德符號有許多有用的性質，可以用來加速計算。它們包括：
如果a≡b(modp)，則
這個性質稱為二次互反律的第一補充。
這個性質稱為二次互反律的第二補充。一般的二次互反律為：
如果p和q是奇素數，則
勒讓德符號(a|p)是一個狄利克雷特徵(modp)。
勒讓德符號計算例子
以上的性質，包括二次互反律，可以用來計算任何勒讓德符號。例如：
勒讓德符號相關函數
- 雅可比符號是勒讓德符號的一個推廣，允許底數為合數，但底數仍然必須是奇數和正數。這個推廣提供了計算所有勒讓德符號的一個有效的方法。
- 一個進一步的推廣是克羅內克符號，把底數的範圍延伸到一切整數。
