雅可比符號

雅可比符號(Jacobi symbol)是勒讓德符號的推廣，整數

對整數

的雅可比符號表示為

。設

是大於

的奇數，且

的素因數分解式為

(式中因數可以相同)，如果

，則雅可比符號定義為：

其中，

是

對

的勒讓德符號。例如，取

，則：

注：雅可比符號是勒讓德符號的推廣，但是根據雅可比符號的值不能判斷同餘式是否有解。

（1）當

是奇素數時，雅可比符號就是勒讓德符號。

（2）當

是奇素數且

時，方程

有解。當m不是奇素數時，這個結論不一定成立。

（1）若

，則

（2）

（3）對於任意的整數

，有

（4）對於任意的整數a，b，(a,m)= 1，有

設

是奇數，其中

是素數，則下面的結論成立：

（1）

（2）

設m，n是大於1的奇整數，則

利用以上定理，可以容易計算Jacobi符號，特別是Legendre符號的數值。但是，必須注意，在判斷方程

的可解性時，Legendre符號和Jacobi的作用是不一樣的。

對於一般的正奇數m來説，即使條件

成立，也並不能保證

一定有解。 ^[2] 

已知3371是素數，判斷方程

是否有解。

解：利用Jacobi符號的性質，有

因此，方程無解。

設a與b是正奇數，求

的關係。

解：