切比雪夫函數

切比雪夫（Chebishev，Pafnuti Lvovich）俄國數學家、力學家。早年接受家庭教育，後畢業於莫斯科大學。1847年始任彼得堡大學副教授。2年後通過了博士論文《比較論》，升為教授。切比雪夫在許多數學領域都作出了卓越貢獻。他是函數構造理論的創始人，建立了用多項式逼近連續函數的理論，創立了新的數學分支。在數論方面，從本質上推進了素數分佈問題的研究。他對有理逼近問題的研究在丟番圖近似理論的發展中起了重要作用。在概率論方面，他建立了證明極限定理的新方法—矩方法， 用簡單和初等的辦法證明了一般形式的大數定律。他的工作使概率論進入一個新的發展階段。在數學分析方面，他研究了由代數函數和對數函數表示的無理函數的可積性。解決了有限形式下橢圓積分的問題， 證明著名的微分二項式可積性條件的定理。他所建立的正交多項式一般理論是數學分析的重要研究方向。他還對內插法進行了深入的研究。

切比雪夫興趣廣泛，喜愛發明創造。他在機械原理甚至服裝裁剪等方面都有論著。

切比雪夫是彼得堡數學學派的創始人。他曾被選為多國家外籍科學院院士，獲得法國榮譽團勳章。1944年，蘇聯科學院設立了切比雪夫獎金。並出版了他的全集。 ^[1] 

曼戈爾特函數是重要的數論函數之一。曼戈爾特函數Λ(n)定義為：

如Λ(1)=0，Λ(2)=ln 2，Λ(3)=ln 3，Λ(4)=ln 2等。

曼戈爾特函數有如下性質：

1.Λ(n)不是積性函數.

2.Λ(n)=μ(n)ln.

3.Λ(d)=ln n.

4.Λ(n)=O(x)，Λ(n+1)=ln x+O(1).

5.設θ(x)=ln p，Ψ(x)=Λ(n)，則 ^[2] 

且當x→∞時，Ψ(x)～x，θ(x)～x並與π(x)～x/ln x相互等價。

素數又被稱為質數，其含義就是除了數字一和本身之外不能被其他任何的數字除盡，根據算術基本定理，每一個比1大的整數，要麼本身是一個質數，要麼可以寫成一系列質數的乘積，最小的素數是2。而素數定理能夠準確的描述素數的分佈，素數分佈規律，以36N（N+1）為單位，隨着N的增大，素數的個數發波浪形式漸漸增多。素數定理可以給出第n個素數p(n)的漸近估計： 它也給出從整數中抽到素數的概率。從不大於n的自然數隨機選一個，它是素數的概率大約是1/ln n。

下面是對π(x)更好的估計： ^[3] 

, 其中

. 而關係式右邊第二項是誤差估計，詳見大O符號。

素數定理可以給出第n個素數p(n)的漸近估計：

它也給出從整數中抽到素數的概率。從不大於n的自然數隨機選一個，它是素數的概率大約是1/ln n。 這定理的式子於1798年法國數學家勒讓德提出。1896年法國數學家哈達瑪(JacquesHadamard)和比利時數學家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後獨立給出證明。證明用到了複分析，尤其是黎曼ζ函數。 因為黎曼ζ函數與π(x)關係密切，關於黎曼ζ函數的黎曼猜想對數論很重要。一旦猜想獲證，便能大大改進素數定理誤差的估計。1901年瑞典數學家Helge von Koch證明出，下式與黎曼猜想等價:

至於大O項的常數則還未知道。

在1948年,塞爾伯格和保羅·埃爾德什首次給出素數定理的初等證明。

切比雪夫函數(Chebyshev function)是重要的數論函數之一。如果Λ(n)表示曼戈爾特函數：

則下面函數：

和

稱為切比雪夫函數。它是切比雪夫(Чебышев，П.Л.)為了證明素數定理而給出的，是重要的數論函數。函數(1)與素數個數函數π(x)有十分密切的聯繫。事實上，素數定理：

等價於θ(x)～x或Ψ(x)～x(x→∞)，並且可由算術基本定理推出關於Ψ(x)的一個重要性質，即：

。上式使函數Ψ(x)與對數函數建立了簡單的聯繫，從而為證明素數定理和研究素數分佈奠定了基礎。

由於Erhard Schmidt的定理指出，對於一些明確的正常數K，存在無窮多的自然數x，使得： ^[4] 

和無限多的自然數x使得：

在無窮小中，上面的式子可以寫成：

Hardy和Littlewood證明了更強的結果：