函數值分佈論

數量之間一定的依賴關係，在數學上叫做函數。如汽車按一定速度行駛，行駛路程的多少依賴於行駛時間的長短，在這裏，時間叫自變量，路程叫因變量，它們之間的數量關係，就是一種簡單的函數關係。

函數值分佈論就是研究自變量變化時，因變量如何變化的問題。在大量常見和重要的函數中，函數取每個值的次數是相似的，只有一小部分例外，這些例外的值就叫做“虧值”。另外，當研究這些函數的變化情況時，在自變量變化範圍的有些部分上，函數取值特別多，變化異常劇烈，數學上把這種現象描述為“奇異方向”。

函數值分佈論的研究已有近百年的歷史，從上世紀末到本世紀三十年代，逐步形成了這門學科的主要研究對象和概念，例如“虧值”、 “奇異方向”。四十年代後，由於把“虧值”、“奇異方向”互相孤立起來的形而上學思維方法，影響了函數值分佈論研究的進展。

青年數學家楊樂、張廣厚運用《矛盾論》的觀點作指導，認為“虧值”是糙體性概念，反映了函數取值虧損和變化平緩的情況，而“奇異方向”是局部性概念，反映了函數取值多和變化劇烈的情況，兩者構成既對立又統一的一對矛盾，終於找到了二者之間的具體聯繫，求出了“虧值”、數目和“奇異方向”數目之間關係的一個公式。這説明只有自覺地把唯物辯證法運用到科學研究中，才能有所前進。 ^[1] 

在第二次世界大戰期間以及戰後的幾年裏，函數值分佈論的研究較為沉寂。但是從50年代中期以來，這方面的優秀工作又屢有出現。其中A.埃德雷與W.H.I.富克斯、A.A.戈爾德貝格關於亞純函數的虧值與虧量的一系列研究，W.K.海曼關於亞純函數結合於其導數的一個基本不等式，D.德拉辛關於奈望林納理論的反問題的徹底解決以及奈望林納猜想的徹底解決，A.韋茨曼證明了有窮級亞純函數的每個虧量的立方根仍然構成收斂級數等則是其中傑出的代表。1973年，A.伯恩斯坦基於值分佈論與傅里葉分析，引進了T*函數，並用以證明了所謂展布關係。以後，T*函數在單葉函數、整函數的最小模等方面也取得了應用。

函數值分佈論還被推廣到代數體函數（G.雷蒙多斯、瓦利隆、H.塞爾伯格、E.烏里希），亞純曲線（H.外爾、J.韋爾、阿爾福斯、伍鴻熙）以及多複變函數（陳省身、R.博特、P.格里菲思、W.斯托爾）。圍繞着推廣奈望林納的兩個基本定理與虧量關係，每個方面都有不少研究工作。

在熊慶來的倡導下，莊圻泰、楊樂、張廣厚等從事值分佈論的研究，取得了顯著的成果。具有代表性的研究工作有關於無窮級亞純函數值分佈的研究，奈望林納第二基本定理的推廣與虧函數，亞純函數虧值數目與波萊爾方向數目的關係，波萊爾方向的分佈規律，關於漸近值的研究，亞純函數的輻角分佈等。