凸優化

凸優化，或叫做凸最優化，凸最小化，是數學最優化的一個子領域，研究定義於凸集中的凸函數最小化的問題。凸優化在某種意義上説較一般情形的數學最優化問題要簡單，譬如在凸優化中局部最優值必定是全局最優值。凸函數的凸性使得凸分析中的有力工具在最優化問題中得以應用，如次導數等。

凸優化應用於很多學科領域，諸如自動控制系統，信號處理，通訊和網絡，電子電路設計，數據分析和建模，統計學（最優化設計），以及金融。在近來運算能力提高和最優化理論發展的背景下，一般的凸優化已經接近簡單的線性規劃一樣直捷易行。許多最優化問題都可以轉化成凸優化（凸最小化）問題，例如求凹函數f最大值的問題就等同於求凸函數 -f最小值的問題。 ^[1] 

凸函數是一個定義在某個向量空間的凸子集C（區間）上的實值函數f，如果在其定義域C上的任意兩點

，以及

，有

也就是説，一個函數是凸的當且僅當其上境圖（在函數圖像上方的點集）為一個凸集。

如果對於任意的

有

函數f是嚴格凸的。

若對於任意的

，其中

，都有

則稱函數f是幾乎凸的。 ^[1] 

以下問題都是凸優化問題，或可以通過改變變量而轉化為凸優化問題：

凸優化（凸最小化）問題可以用以下幾種方法求解：

通常凸優化的定義要求目標函數f在可行域內被最小化，而在某些的線性規劃問題中也會研究最大化。 ^[1]