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全微分方程

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全微分方程，又稱恰當方程。若存在一個二元函數u(x,y)使得方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左端為全微分，即M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y)，則稱其為全微分方程。全微分方程的充分必要條件為∂M/∂y=∂N/∂x。為了求出全微分方程的原函數，可以採用不定積分法和分組法，對於不是全微分方程，也可以藉助積分因子使其成為全微分方程，再通過以上方法求解。
中文名
全微分方程
外文名
exact equation [1] 
別    名
恰當方程
判    別
充要條件∂M/∂y=∂N/∂x
求解方法
不定積分法和分組法
領    域
微積分

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 全微分方程的通積分形式
  3. 3 全微分方程的判別與求解

全微分方程定義

一階顯式方程
可以改寫成關於
和
的對稱形式
(1)
這種形式有時便於求解。這裏
和
在某一矩形域
內是
的連續函數，且具有連續的一階偏導數。
如果存在一個二元函數
使得該方程的左端恰好是它的全微分，即有
則稱其為全微分方程（或恰當方程），而函數
是
的原函數。 [2] 

全微分方程全微分方程的通積分形式

當方程
是全微分方程時，它可寫成
，於是其通積分就是
(2)
其中
為任意常數。
事實上，設
是原方程的解，則有
即有
對
積分得到
這表明
滿足方程(2)。
反之，設
是函數方程(2)的解，即它是由(2)所確定的隱函數，則有
對
微分得到
即
這表明
滿足方程(1)。
因此全微分方程的通積分形式是
。
根據上述表述，為了求解方程(1)，只要求出
的一個原函數
，就可得到方程(1)的通積分(2)。 [2] 

全微分方程全微分方程的判別與求解

①如何判別方程(1)為全微分方程，這個問題在數學內早有結論，即
方程(1)是全微分方程的充分必要條件是
在矩形域
內成立。 [2] 
②如果已判定方程(1)為全微分方程，如何求出相應全微分的原函數
，這個問題在數學分析中也已經得到解決，最常用的方法是不定積分法。
因為所求的原函數
適應方程組
首先由第一個式子出發，把
看成參數，兩邊對
積分，得
其中
是
的任意可微函數，而且要選擇適當的
，使
滿足第二個式子。為此，將其代入第二個等式得
即
兩邊對
積分，即可得到
，再代回之前的積分，即可得到
。
但對於某些特殊的全微分方程，為了求出相應全微分的原函數，還可以採用相對簡單的“分組湊全微分”的方法，即把方程的左端各項進行重新組合，使每個組的原函數容易觀察得出，從而可以寫出
。 [2] 
而對於不是全微分的方程，可以採用積分因子使其成為全微分方程，再根據以上方法求解。
參考資料
  • 1.    壽津瑩．天津理工學院學報： 天津理工學院學報， 2000
  • 2.    都長清．常微分方程：北京師範學院出版社，1993