偏微商

函數f可以解釋為y為自變量而x為常數的函數：

也就是説，每一個x的值定義了一個函數，記為f_x，它是一個一元函數。也就是説：

一旦選擇了一個x的值，例如a，那麼f(x,y)便定義了一個函數f_a，把y映射到a+ay+y：

在這個表達式中，a是常數，而不是變量，因此f_a是隻有一個變量的函數，這個變量是y。這樣，便可以使用一元函數的導數的定義：

以上的步驟適用於任何a的選擇。把這些導數合併起來，便得到了一個函數，它描述了f在y方向上的變化：

這就是f關於y的偏導數，在這裏，∂是一個彎曲的d，稱為偏導數符號。為了把它與字母d區分，∂有時讀作“der”、“del”、“dah”或“偏”，而不是“dee”。

一般地，函數f(x₁,...,x_n)在點（a₁,...,a_n）關於x_i的偏導數定義為：

在以上的差商中，除了x_i以外的所有變量都是固定的。這個固定值的選擇決定了一個一元函數

，根據定義，

這個表達式説明了偏導數的計算可以化為一元導數的計算。

多變量函數的一個重要的例子，是歐幾里德空間R（例如R或R）上的標量值函數f(x₁,...x_n)。在這種情況下，f關於每一個變量x_j具有偏導數∂f/∂x_j。在點a，這些偏導數定義了一個向量：

這個向量稱為f在點a的梯度。如果f在定義域中的每一個點都是可微的，那麼梯度便是一個向量值函數∇f，它把點a映射到向量∇f（a）。這樣，梯度便決定了一個向量場。

一個常見的符號濫用是在歐幾里得空間R中用單位向量來定義Nabla算子(∇) 如下:

或者，更一般地，對於n維歐幾里得空間R的座標(x₁, x₂, x₃,...,x_n)和單位向量(

):

令二元函數

的自變量

保持定值

，這時

就成為自變量

的一元函數。如果這個一元函數

在

處的微商存在，則稱此微商為函數

在點

處對

的偏微商（或偏導數）。

函數

關於變量

的偏導數寫為

或

。偏導數符號是全導數符號

的變體，這個符號是阿德里安-馬裏·勒讓德引入的，並在雅可比的重新引入後得到普遍接受。

假設ƒ是一個多元函數。例如：

因為曲面上的每一點都有無窮多條切線，描述這種函數的導數相當困難。偏導數就是選擇其中一條切線，並求出它的斜率。通常，最感興趣的是垂直於y軸（平行於xOz平面）的切線，以及垂直於x軸（平行於yOz平面）的切線。

一種求出這些切線的好辦法是把其他變量視為常數。例如，欲求出以上的函數在點（1, 1, 3）的與xOz平面平行的切線。圖1顯示了函數的圖像以及這個平面。圖2顯示了函數在平面y= 1上是什麼樣的。我們把變量y視為常數，通過對方程求導，我們發現

在點

的。我們把它記為：

於是在點（1, 1, 3）的與xOz平面平行的切線的斜率是3。

在點（1, 1, 3），或稱“

在（1, 1, 3）的關於x的偏導數是3”。

考慮一個圓錐的體積V；它與高度h和半徑r有以下的關係：

V關於r的偏導數為：

它描述了高度固定而半徑變化時，圓錐的體積的變化率。V關於h的偏導數為：

它描述了半徑固定而高度變化時，圓錐的體積的變化率。

現在考慮V關於r和h的全導數。它們分別是：

以及

現在假設，由於某些原因，高度和半徑的比k需要是固定的：

這便給出了關於r的全導數：

可以化簡為：

類似地，關於h的全導數是：

含有未知函數的偏導數的方程，稱為偏微分方程，它在物理學、工程學，以及其它應用科學中經常會見到。

與關於r和h二者相關的全導數是由雅可比矩陣給出的，它的形式為梯度向量 ^[1] 

在以下的例子中，設f為x、y和z的函數。

f的一階偏導數為：

二階偏導數為：

二階混合偏導數為：

高階偏導數為：

當處理多變量函數時，有些變量可能互相有關，這樣就需要明確指定哪些變量是固定的。在諸如統計力學的領域中，f關於x的偏導數，把y和z視為常數，通常記為 ^[2]  ：

像導數一樣，偏導數也是定義為一個極限。設U為R的一個開子集，f:U→R是一個函數。我們定義f在點a= (a₁, ...,a_n) ∈U關於第i個變量x_i的偏導數為：

即使在某個給定的點a，所有的偏導數∂f/∂x_i(a)都存在，函數仍然不一定在該點連續。然而，如果所有的偏導數在a的一個鄰域內存在並連續，那麼f在該鄰域內完全可微分，且全導數是連續的。在這種情況下，我們稱f是一個C函數。

偏導數

可以視為定義在U內的另外一個函數，並可以再次求偏導數。如果所有的混合二階偏導數在某個點（或集合）連續，我們便稱f為在該點（或集合）的一個C函數；在這種情況下，根據克萊羅定理，偏導數可以互相交換 ^[3]  ：