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貝特朗定理
鎖定
- 中文名
- 貝特朗定理
- 外文名
- Bertrand's theorem
- 別 名
- 伯特蘭定理
- 學 科
- 物理
- 範 疇
- 經典力學
- 作 用
- 精確測試萬有引力的平方反比性質
目錄
貝特朗定理定義
2.徑向諧振子勢:
1687年,物理泰斗艾薩克·牛頓在鉅著《自然哲學的數學原理》裏發表的萬有引力定律,解釋了為什麼行星繞着太陽的公轉運動會遵守開普勒定律。在這之後,許多科學家開始研究,當行星的運動稍許偏離了這軌道的時候,可能會發生的狀況?其中一個問題為:軌道是否仍舊是閉合的?但是,經過多年的探討,科學家都無法給出合理的解答。一直要等到1873年,法國數學家約瑟·伯特蘭發表伯特蘭定理,才正確地解析這問題。對於經典天體力學研究,這定理非常的重要;在宇宙遙遠的那一邊,萬有引力的性質是否仍舊保持不變?伯特蘭定理給予實驗者一個精確的方法,來測試萬有引力的平方反比性質。
在現代物理學裏,理論物理學家發現,由於廣義相對論效應,重力勢軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到,水星繞着太陽公轉的橢圓軌道,其近拱點呈緩慢進動狀態。所以,當涉及廣義相對論的領域,伯特蘭定理不成立。
[1]
貝特朗定理平方反比力(開普勒問題)
平方反比有心力給出的連心勢,像重力勢或靜電勢,以方程表示為
離心率與粒子能量E的關係為
貝特朗定理徑向諧振子
為了方便解析這問題,採用直角座標
。勢能可以寫為
處於徑向諧振子位勢的粒子,其拉格朗日量
是
常數k必須為正值;否則,粒子會朝着無窮遠飛離。這些微分方程的解答為
貝特朗定理牛頓旋轉軌道定理
牛頓旋轉軌道定理表明,對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子,假設再增添立方反比力於此粒子,只要因子
是有理數,則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據牛頓旋轉軌道定理的方程,增添的立方反比力
為
所以,
。
由於
是有理數,
可以寫為分數
;其中,
和
都是整數。對於這案例,增添立方反比力使得粒子完成
圈公轉的時間等於原本完成
圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理,因為,增添的立方反比力與粒子的原本角動量有關。
[4]
貝特朗定理參閲
- 參考資料
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- 1. Bertrand, J. Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe. C. R. Acad. Sci. 1873, 77: 849–853.
- 2. Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 89–92. ISBN 0201657023
- 3. Tikochinsky, Yoel, A simplified proof of Bertrand's theorem, American Journal of Physics, December 1988, 56 (12): pp. 1063–1157
- 4. Zarmi, Yair, The Bertrand theorem revisited, American Journal of Physics, April 2002, 70 (4): pp. 446–449
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