貝特朗定理

在經典力學裏，伯特蘭定理闡明，只有兩種位勢V可以給出閉合軌道：

1.平方反比有心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程表示為

2.徑向諧振子勢：

其中，r是徑向座標，k是正值常數。假若物體從某位置移動，經過一段路徑後，又回到原先位置，則稱此路徑為閉合軌道。

1687年，物理泰斗艾薩克·牛頓在鉅著《自然哲學的數學原理》裏發表的萬有引力定律，解釋了為什麼行星繞着太陽的公轉運動會遵守開普勒定律。在這之後，許多科學家開始研究，當行星的運動稍許偏離了這軌道的時候，可能會發生的狀況？其中一個問題為：軌道是否仍舊是閉合的？但是，經過多年的探討，科學家都無法給出合理的解答。一直要等到1873年，法國數學家約瑟·伯特蘭發表伯特蘭定理，才正確地解析這問題。對於經典天體力學研究，這定理非常的重要；在宇宙遙遠的那一邊，萬有引力的性質是否仍舊保持不變？伯特蘭定理給予實驗者一個精確的方法，來測試萬有引力的平方反比性質。

在現代物理學裏，理論物理學家發現，由於廣義相對論效應，重力勢軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到，水星繞着太陽公轉的橢圓軌道，其近拱點呈緩慢進動狀態。所以，當涉及廣義相對論的領域，伯特蘭定理不成立。 ^[1] 

平方反比有心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程表示為

處於這種連心勢的粒子，其一般軌道方程寫為

其解答為軌道函數

：

其中，e是橢圓軌道的離心率，

是相位差，是一個積分常數。

這是焦點位於原點的圓錐曲線的一般方程。當

時，這軌道對應於圓形軌道； 當

時，這軌道是橢圓形軌道；當

時，這軌道是拋物線軌道；當

時，這軌道是雙曲線軌道。

離心率與粒子能量E的關係為

所以，當

時，這軌道是圓形軌道； 當

時，這軌道是橢圓形軌道；當

時，這軌道是拋物線軌道；當

時，這軌道是雙曲線軌道。 ^[2] 

為了方便解析這問題，採用直角座標

。勢能可以寫為

處於徑向諧振子位勢的粒子，其拉格朗日量

是

這粒子的拉格朗日方程為

其中，

是振動頻率。

常數k必須為正值；否則，粒子會朝着無窮遠飛離。這些微分方程的解答為

其中，

、

、

分別為x、y、z方向的振幅，

、

、

分別為其相位

由於上述方程經過整整一週期

後，會重複自己，軌道解答

是閉合軌道。 ^[3] 

牛頓旋轉軌道定理表明，對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子，假設再增添立方反比力於此粒子，只要因子

是有理數，則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據牛頓旋轉軌道定理的方程，增添的立方反比力

為

其中，

是粒子原本的角動量，

是粒子的質量。

所以，

。

由於

是有理數，

可以寫為分數

；其中，

和

都是整數。對於這案例，增添立方反比力使得粒子完成

圈公轉的時間等於原本完成

圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理，因為，增添的立方反比力與粒子的原本角動量有關。 ^[4]