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摺疊角公式
鎖定
設O為面上一點,過平面外一點B的直線BO在面上的射影為AO,OC為面上的一條直線,那麼∠COB,∠AOC,∠AOB三角的餘弦關係為:cos∠BOC=cos∠AOBcos∠AOC(∠AOC,∠AOB只能是鋭角)
(又名三餘弦定理或爪子定理)
- 中文名
- 摺疊角公式
- 別 名
- 三餘弦定理或爪子定理
- 表達式
- cos∠COB=cos∠AOBcos∠AOC
- 適用領域
- 立體幾何
- 應用學科
- 數學
摺疊角公式證明
根據三垂線定理可得BC⊥OC
在Rt△BOA中
在Rt△COA中
在Rt△COB中
比較①、②、③三式可知
即得證
摺疊角公式例題使用
考點:摺疊角公式的應用
專題:計算題(摺疊角公式的應用)
分析:過點F作FG垂直於AC,G在AC上,連接GE,由摺疊角公式可得cos∠EOF=cos∠FOG·cos∠GOE,根據正方形的性質及等腰直角三角形的性質,易得∠AOF=135°,∠AOE=45°,進而可以求出∠EOF的餘弦值,進而得到∠EOF的大小.
解答:解:過F作FG垂直於AC,G在AC上,連接GE;
∴FG⊥平面ACD(直二面角的性質),
∵FO為平面ADC的斜線,OE在平面ADC內,
由摺疊角公式得:cos∠EOF=cos∠FOG·cos∠AOE…(1)
cos∠EOF=(-cos∠AOF)·(-cos∠AOE),
即cos∠EOF=cos∠AOF×cos∠AOE.
由∠AOF=135°,∠AOE=45°
∴cos∠EOF=cos135°·cos45°=-0.5
則∠EOF=120°
註明:摺疊角公式以及三正弦定理的應用為立體幾何的解題帶來了許多方便。
摺疊角公式公式特點
輔助記憶:這三個角中,∠COB是最大的,其餘弦值最小,等於另外兩個角的餘弦值之積。斜線與平面所成∠AOB是斜線與平面內所有直線所成的角中最小的角。
(運用時可以背誦成,橫的角乘以豎的角等於斜的角)
摺疊角公式推論一
(與OH的射影不重合也不平行),設PO與直線l所成角為θ,PO與平
面α所成角為θ1,OH與直線l所成較小角為θ2,則cosθ=cosθ1cosθ2