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等腰直角三角形
鎖定
- 內角的個數
- 3
- 三內角的度數
- 90°、45°、45°
- 三內角和度數
- 180°
- 應用學科
- 數學
等腰直角三角形概念
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，它的特點是：
（1）兩底角等於45°。
（2）兩腰相等。
（3）等腰直角三角形三邊比例為
。
等腰直角三角形性質
等腰直角三角形判定
方法一：
根據定義，有一個角是直角的等腰三角形，或兩條邊相等的直角三角形是等腰直角三角形。
方法二：
三邊比例為
的三角形是等腰直角三角形。
證明：
[2]
勾股定理的逆定理可知該三角形是直角三角形，並且有兩條邊相等，滿足等腰直角三角形的定義。
方法三：
底角為45°的等腰三角形是等腰直角三角形。
證明：用三角形內角和定理求出角度分別為45°、45°、90°，滿足等腰直角三角形的定義。
方法四：
有一個鋭角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。
證明同方法三。
方法五：
直角邊和斜邊的比例為
的直角三角形是等腰直角三角形。
證明：根據勾股定理求出另一條直角邊也是1，利用方法二判定。或根據反三角函數求出直角邊所對角為45°，利用方法四判定。
方法六：
有一個角是45°，並且這個角兩邊長度比為
的三角形是等腰直角三角形。
證明：根據餘弦定理可求出第三邊長為1，利用方法二判定。
方法七：
有一個角是45°，並且這個角所對的邊和它的一條邊長度比為
的三角形是等腰直角三角形。
證明：和方法六不同，如果長度為1的邊不是45°角的鄰邊而是對邊，則根據正弦定理求出長度為√2的邊所對角為90°，再利用方法四判定。
等腰直角三角形特殊類型
圖示
斜邊相等的直角三角形中，以等腰直角三角形的面積和周長最大。
解:首先證明面積最大的是它
將等腰Rt△ACB,任意Rt△AC'B都畫出外接圓,AB為圓的直徑。(其實這樣做是為了滿足斜邊AB相等,且是直角三角形).再做CF⊥AB,C'F⊥AB.(藍色輔助線)
由三線合一可知O和F重合，且易證OC>C'F'(根據垂徑定理和直徑是最長的弦得到)。
而CF是△ABC的高,C'F'是△ABC'的高,由面積公式
可知等腰Rt△ABC面積最大。
其次解:證明周長最大的還是它
延長BC到E,使CE=CA.延長BC'到D,使C'D=C'A.連接DE,AD,AE.
∵AC'⊥BD,AC⊥BE
∴△AC'D,△ACE都是等腰直角三角形
∴∠AEB=∠ADB=45°
∵D,E在線段AB同側
∴ABED四點共圓
∵AC=BC=CE
∴∠EAB=90°(直角三角形斜邊中線定理逆定理)
∴∠EDB=90°
∴BE>BD
又∵EB=AC+CB. BD=AC'+C'B.
∴AC+CB>AC'+C'B.
∵Rt△ACB周長=AB+(AC+CB).
Rt△AC'B周長=AB+(AC'+C'B).
∴等腰Rt△ABC周長最大。
- 參考資料
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- 1. 艾林. 正弦定理、餘弦定理的變換應用[J]. 數學教學通訊,2011,(18):46+50. [2017-08-28]. ．知網[引用日期2017-08-28]
- 2. 劉莉. 勾股定理的逆定理應用探究[J]. 成才之路,2013,(30):84. [2017-08-28]. ．知網[引用日期2017-08-28]
- 3. 張同編著. 中學數學英語選讀[M]. 上海：上海教育出版社, 1987.12：255
