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radon變換

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拉東變換是一個積分變換，它將定義在二維平面上的一個函數 f(x,y) 沿着平面上的任意一條直線做線積分，相當於對函數 f(x,y) 做 CT掃描。其基本應用是根據 CT 的透射光強重建出投影前的函數 f(x,y) [1]  ，即拉東變換的反演問題。拉東變換由拉東在 1917 年提出，他也同時提出拉東變換的反演公式，以及三維空間的拉東變換公式。 此後不久，更高維空間的拉東變換被提出。 在複數域上有和拉東變換相似的 Penrose 變換。
中文名
拉東變換
外文名
Radon transform
簡    介
原始函數的某個線積分值
應    用
CT 成像等

目錄

  1. 1 函數定律
  2. 2 定義
  3. 3 反演

radon變換函數定律

若函數 f(x,y) 表示一個未知的密度，對 f(x,y) 做拉東變換，相當於得到 f(x,y) 投影后的信號。舉例來説，f(x,y) 相當於人體組織，斷層掃描的輸出信號相當於對 f(x,y) 做拉東變換。 可以用拉東反變換從投影后的結果重建原始的密度函數 f(x,y)。拉東變換是重建CT掃描的數學理論基礎。另一個廣為人知的名詞是三維重建 [1]  。
拉東變換後的信號稱作 “正弦圖”，因為一個偏離中心的點的拉東變換是一條正弦曲線。所以對多個點狀分佈的拉東變換會看起來像許多不同振福、相位的正弦函數疊加在一起。

radon變換定義

令函數 f(x,y) 在 R2上有緊緻支集 (compact support)。令 R 為拉東變換算子，則 Rf(x,y) = R(s,α) 的定義如下 [1]  ：
由於狄拉克δ函數的限制，以上積分沿着直線 x cosα + y sinα = s 進行。CT 掃描可以沿任意法方向 α、與原點成任意距離 s 的直線。得到 R(s,α) 以後可以利用拉東變換的反演來重構 f(x,y)。

radon變換反演

要實現拉東變換 R(s,α) 的反演，重構出函數 f(x,y)，可以對變量 s 做傅里葉積分得
右邊剛好是 f(x,y) 的二維傅里葉變換
其中 kx = k cosα，ky = k sinα。於是 F(kx,ky) 任意點可算，再用二維傅里葉逆變換公式
即可求得原先的函數 f(x,y)。拉東變換中的線積分相當於二維傅里葉變換裏沿着同相位線的積分。對 s 做傅里葉變換相當於沿垂直於同相位線的方向也做傅里葉變換，從而得到二維傅里葉變換。最後用傅里葉逆變換即得反演。
參考資料
  • 1.    Minlos, R.A., Radon transform, (編) Hazewinkel, Michiel, 數學百科全書, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.