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傅里葉積分

當一個非常複雜的函數變成多個初等正弦函數相加時，它的積分比之前對複雜函數的積分變得簡單多了。法國數學家傅里葉發現了週期函數可以用一系列正弦函數組成的級數表示。先把函數作傅里葉變換，然後再利用萊布尼茨公式即可求出結果。

傅里葉積分概念

傅里葉積分是一種積分在運算過程中的變換，它來源於函數的傅里葉積分表示。以傅里葉變換為工具，研究函數的許多性質，是傅里葉分析的主要內容。傅里葉變換在數學、物理以及工程技術中都有重要的應用。^[1]

一.基本定義和定理

基本定義：若函數 f(x)滿足條件

①在任一有限區間都連續或只有有限個第一類間斷點，並且只有有限個極值；

②在(-∞，+∞)上絕對可積，即有限；則定義[f(x)→C(ω)]

為 f(x)的（復）傅里葉變換；記C(ω) = F[ f (x)] = f (ω)，稱 C(ω)為（復）傅里葉變換像函數。

定理：在上面定義的基礎上，可以證明

（在間斷點，右邊的積分收斂到f(x)在該點左右極限的平均值）．稱該積分為 f(x)的傅里葉復積分；f(x)為 C(ω)的（傅里葉逆變換 C(ω)→f(x)）原函數。常記

。

二. 實數形式的傅里葉積分

和定理對應的實函數形式為：

稱 f(x)的（實數形式的）傅里葉積分。其中

稱為 f(x)的實傅里葉變換。

參考資料

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