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adj
（線性代數術語）
鎖定
- 中文名
- adj表達式
- 外文名
- adj
- 別 名
- 拉普拉斯公式的推論
- 表達式
- adj(A)=C^T
adj定義
參見：子式和餘子式、餘因子矩陣及轉置矩陣。
- 定義：A關於第i 行第j 列的餘子式（記作Mij）是去掉A的第i行第j列之後得到的(n − 1)×(n − 1)矩陣的行列式。
- 定義：A關於第i 行第j 列的代數餘子式是：
代數餘子式
- 定義：A的餘子矩陣是一個n×n的矩陣C，使得其第i 行第j 列的元素是A關於第i 行第j 列的代數餘子式。
引入以上的概念後，可以定義：矩陣A的伴隨矩陣是A的餘子矩陣的轉置矩陣：
轉置矩陣
也就是説， A的伴隨矩陣是一個n×n的矩陣（記作adj(A)），使得其第i 行第j 列的元素是A關於第j 行第i 列的代數餘子式：
代數餘子式-2
adj例子
adj2x2矩陣
一個2x2矩陣
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的伴隨矩陣是
2
adj3x3矩陣
對於3x3的矩陣，情況稍微複雜一點：
3
其伴隨矩陣是：
4
其中
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要注意伴隨矩陣是餘子矩陣的轉置，第3行第2列的係數應該是A關於第2行第3列的代數餘子式。
adj具體情況
對於數值矩陣，例如求矩陣
6
的伴隨矩陣adj(A)，只需將數值代入上節得到的表達式中。
即
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其中Mij為刪掉矩陣A的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式，Cji為矩陣A的餘因子。
例如adj(A)中第3列第2行的元素為
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依照其順序一一計算，便可得到計算後的結果是：
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adj應用
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其中I是n階的單位矩陣。事實上，A adj(A)的第i行第i列的係數是
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如果i ≠ j，那麼A adj(A)的第i行第j列的係數是
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。拉普拉斯公式説明這個和等於0（實際上相當於把A的第j行元素換成第i行元素後求行列式。由於有兩行相同，行列式為0）。
由這個公式可以推出一個重要結論：交換環R上的矩陣A可逆當且僅當其行列式在環R中可逆。
這是因為如果A可逆，那麼
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如果det(A)是環中的可逆元那麼公式(*)表明
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adj性質
對n×n的矩陣A和B，有：
1.adj(Ⅰ)=Ⅰ
2.adj(AB)=adj(B)adj(A)
3.adj(AT)=adj(A)T
4.det(adj(A))=det(A)n-1
5.
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6.當n＞2時，
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7.如果A可逆，那麼
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9.如果A是（半）正定矩陣，那麼其伴隨矩陣也是（半）正定矩陣。
10.如果矩陣A和B相似，那麼adj(A)和adj(B)也相似。
11.如果n＞2，那麼非零矩陣A是正交矩陣當且僅當adj(A)=±AΤ
adj伴隨矩陣的秩
當矩陣A可逆時，它的伴隨矩陣也可逆，因此兩者的秩一樣，都是n。當矩陣A不可逆時，A的伴隨矩陣的秩通常並不與A相同。當A的秩為n-1時，其伴隨矩陣的秩為1，當A的秩小於n-1時，其伴隨矩陣為零矩陣。
adj伴隨矩陣的特徵值
λ2λ3...λn，λ1λ3...λn，...，λ1λ2...λn-1。
adj伴隨矩陣和特徵多項式
設p(t) = det(A − tI)為A的特徵多項式，定義
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，那麼：
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其中是p(t)的各項係數：
adj參見
- 可逆元
- 餘子矩陣
