rolle定理

如果函數f(x)滿足如下條件：

（1）f(x)在閉區間[a ,b]上連續；

（2）f(x)在開區間(a,b) 內可導；

（3）f(x)在區間端點的函數值相等，即f(a)=f(b) ，

那麼在(a,b) 內至少有一點ξ (a<ξ<b)，使得函數f(x) 在該點的導數等於零，即f'(ξ)=0。 ^[1] 

在每一點都可導的一段連續曲線上，如果曲線的兩端高度相等，則至少存在一條水平切線。（圖形如下所示） ^[1] 

因為函數 f(x) 在閉區間[a,b] 上連續，所以存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種情況討論：

（1）若 M=m，則函數 f(x) 在閉區間 [a,b] 上必為常函數，結論顯然成立。

（2）若 M>m，則因為 f(a)=f(b) ，使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個在 (a,b) 內某點ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值點，又條件 f(x) 在開區間 (a,b) 內可導得，f(x) 在 ξ 處取得極值，由費馬引理推知：f'(ξ)=0。

注意：rolle定理中的三個條件缺少任何一個，結論將不一定成立。 ^[1] 

設f(x)為R上可導函數，證明：若函數f'(x)=0沒有實根，則方程f(x)=0至多隻有一個實根。

證明：（反證法）倘若f(x)=0有兩個實根

，則函數f在

上滿足羅爾定理三個條件，從而存在

，使得f'(ξ)=0，這與f'(x)≠0矛盾，故假設不成立，原命題成立。 ^[1] 

用羅爾中值定理證明：方程

在(0,1)內有實根。

證明：設

則 F(x) 在 [0,1] 上連續，在 (0,1) 內可導，且F(0)=F(1)。

故由羅爾中值定理，至少存在一點ξ使得F'(ξ)=0

;

故有

，即ξ是方程

在(0,1)內的實根。命題得證。 ^[2]