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Jordan標準型

鎖定
每個n階的複數矩陣A都與一個若爾當形矩陣相似，這個若爾當形矩陣除去其中若爾當塊的排列次序是被矩陣A唯一確定的，它稱為矩陣A的若爾當標準型。首先，Jordan標準型由主對角線為特徵值，主對角線上方相鄰斜對角線為1的Jordan塊按對角排列組成的矩陣稱為Jordan形矩陣，而主對角線上的小塊方陣Ji稱為Jordan塊；其次，每個n階的複數矩陣A都與一個若爾當形矩陣相似，這個若爾當形矩陣除去其中若爾當塊的排列次序是被矩陣A唯一確定的，它成為矩陣A的若爾當標準型。
中文名
Jordan標準型
外文名
Jordan standard form
特點1
主對角線上元素為特徵值
特點2
主對角線上方相鄰斜對角線為1
工    具
初等因子理論
應用學科
高等數學

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 實例
  3. ▪ Jordan陣
  1. ▪ 非Jordan陣
  2. 3 相關定理
  3. ▪ 定理1
  1. ▪ 定理2
  2. ▪ 定理3

Jordan標準型定義

對任一
階矩陣
，必存在
階可逆陣
，使
，其中每一個對角塊都是Jordan塊：
，即對角線上同為
，
的上面都有一個1，其餘元素都是0，
是
階方陣。因此
中所有
都是矩陣
的特徵值，
。進一步，若不計各個Jordan塊
的排序，
是由
唯一確定的，也就是説，
的Jordan塊標準型，在不計Jordan塊次序的前提下，是唯一確定的。我們稱
稱為Jordan塊。 [1] 
每個n階的複數矩陣A都與一個若爾當形矩陣相似，這個若爾當形矩陣除去其中若爾當塊的排列次序是被矩陣A唯一確定的，它成為矩陣A的若爾當標準型。 [2] 

Jordan標準型實例

Jordan標準型Jordan陣

例如：
，
，
，
，
。 [1] 

Jordan標準型非Jordan陣

，
，
。 [1] 

Jordan標準型相關定理

Jordan標準型定理1

設
是複數域上的n維線性空間上
的線性變換.，在
中必定存在一組基，使
在這組基下的矩陣是若爾當形，並且這個若爾當形矩陣除去其中若爾當塊的排列次序是被
唯一決定的。 [2] 

Jordan標準型定理2

複數矩陣
與對角矩陣相似的充分必要條件是，
的初等因子全為一次的。 [2] 

Jordan標準型定理3

複數矩陣
與對角矩陣相似的充分必要條件是，
的不變因子都沒有重根。 [2] 
參考資料
  • 1.    徐誠浩編著．高等數學（二）：線性代數與概率統計．上海：復旦大學出版社，2000：108-109
  • 2.    北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組編．高等代數（第三版）．北京：高等教育出版社，2003：346-352