不變因子

設

是n階

一矩陣，k是小於等於n的某個正整數，如果

的所有k階子式的最大公因子(它是首一多項式)不等於零，則稱這個多項式為

的k階行列式因子，記為

。如果

的所有k階子式都等於零，則規定

的k階行列式因子為零。

設

是

一矩陣A(

)的非零行列式因子，則

稱為A(

)的不變因子。

相抵的λ一矩陣有相同的行列式因子，從而有相同的不變因子。 ^[2] 

證明 我們只需證明行列式因子在任意一種初等變換下不變就可以了，對第一種初等變換，交換λ一矩陣

的任兩行，顯然A(λ )的i階子式最多改變一個符號，因此行列式因子不改變。

對第二種初等變換，A(λ )的i階子式與變換後矩陣的i階子式最多差一個非零常數，因此行列式因子也不改變。

對第三種初等變換，記變換後的矩陣為B(λ )，則B( λ)與A(λ )的i階子式可能出現以下3種情形：子式完全相同；B(λ )子式中的某一行(列)等於A(λ )中相應子式的同一行(列)加上該子式中某一行(列)與某個多項式之積；B(λ )子式的某一行(列)等於A( λ)中相應子式的同一行(列)加上不在該子式中的某一行(列)與某個多項式之積，在前面兩種情形，行列式的值不改變，因此不影響行列式因子，來討論第三種情形，設

為B(λ )的t階子式，相應的A( λ)的i階子式記為

，則由行列式性質得

其中

由A( λ)中的i行與i列組成，因此它與A( λ)的某個i階子式最多差一個符號，

是乘以某一行(列)的那個多項式，於是A( λ)的行列式因子

，故

，這説明，

可整除B(λ)的所有i階子式，因此

可整除B(λ )的i階行列式因子

，但B( λ)也可用第三種初等變換變成A( λ)，於是

，由於

及

都是首一多項式，因此必有

。

設n階 λ一矩陣A( λ)的法式為

其中

是非零首一多項式且

，則A(λ )的不變因子為

．特別，法式和不變因子之間相互唯一確定。 ^[2] 

證明 由定理1，A(λ )與

有相同的不變因子，

的不變因子為

，從而它們也是A(λ )的不變因子。

設A(λ )，B( λ)為n階 λ一矩陣，則A(λ )與B( λ)相抵當且僅當它們有相同的法式。 ^[2] 

證明 若A( λ)與B( λ)有相同的法式，顯然它們相抵，若A( λ)與B( λ)相抵，由定理1知A( λ)與B( λ)有相同的不變因子，從而有相同的法式。

n階 λ一矩陣A(λ )的法式與初等變換的選取無關。

證明 設

是A( λ)通過不同的初等變換得到的兩個法式，則

與

相抵，由推論2可得

。

數域

上n階矩陣A與B相似的充分必要條件是它們的特徵矩陣

和

具有相同的行列式因子或不變因子。 ^[2] 

證明 顯然不變因子與行列式因子之間相互唯一確定，再由定理2，推論1及推論2即得結論。 ^[2] 

之後特徵矩陣

的行列式因子及不變因子均簡稱為A的行列式因子與不變因子。

設

是兩個數域，A，B是

上的兩個矩陣，則A與B在

上相似的充分必要條件是它們在

上相似。

證明 若A與B在

上相似，由於

，它們當然在

上也相似，反之，若A，B在

上相似，則

與

在

上有相同的不變因子，也就是説它們有相同的法式，但在求法式的過程中只涉及多項式的加、減、乘及數的加、減、乘、除運算，而數域在加、減、乘、除運算下封閉，數域上的多項式在加、減、乘及數乘下也封閉，因此由推論3，法式中的不變因子多項式

仍是

上的多項式，與初等變換相對應的初等矩陣也是

上的

一矩陣，這就是説存在

上的可逆

一矩陣

，使

從而

即

與

在

上相抵，由定理2可得A與B在

上相似。 ^[2]