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若爾當標準型

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若爾當標準型是由若干個主對角線為特徵值，下方（或上方）次對角線全為1，其餘全為0的若爾當塊按對角排列組成的準對角矩陣。不是每個n階矩陣通過初等變換都能化為對角矩陣，但每個n階複數矩陣A通過初等變換都能化為若爾當標準型，這個若爾當形矩陣除去其中若爾當塊的排列次序不同外是被矩陣A唯一確定的，它稱為矩陣A的若爾當標準型。
中文名
若爾當標準型
外文名
Jordan standard form
所屬學科
線性代數

目錄

  1. 1 定義
  2. ▪ 若爾當塊
  3. ▪ 若爾當標準型
  1. 2 實例
  2. ▪ 若爾當塊實例
  3. ▪ 若爾當標準型實例
  1. 3 理論推導與例子

若爾當標準型定義

若爾當標準型若爾當塊

形式為
的矩陣稱為若爾當塊（其中
為複數）。即若當塊矩陣對角線上為相同的複數
，下方（或上方）次對角線上全為1，其餘元素全為0。

若爾當標準型若爾當標準型

由若干個若爾當塊組成的準對角矩陣稱為若爾當標準型，其一般形狀為
，其中
，並且
中有一些可以相等。 [1] 

若爾當標準型實例

若爾當標準型若爾當塊實例

例如
，
，
都是若爾當塊。

若爾當標準型若爾當標準型實例

例如
是一個若爾當標準型矩陣。其由
，
，
等三個若爾當塊組成。

若爾當標準型理論推導與例子

一般採用初等因子理論來完成若爾當標準型的理論推導，其具體推導過程參見王萼芳《高等代數》346-349頁。 [1]  這裏我們採用一個具體的例子來説明若爾當標準型的計算過程。
例：求矩陣
的若爾當標準型。
解：首先求
的初等因子：
。
因此，A的初等因子是
，A的若爾當標準型是
參考資料
  • 1.    [1]北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組．高等代數（第三版）．北京：高等教育社，2003.7：311-352