ARCH模型

作為一種全新的理論，ARCH模型在近十幾年裏得到了極為迅速的發展，已被廣泛地用於驗證金融理論中的規律描述以及金融市場的預測和決策。

ARCH模型是獲得2003年諾貝爾經濟學獎的計量經濟學成果之一。被認為是最集中反映了方差變化特點而被廣泛應用於金融數據時間序列分析的模型。ARCH模型是過去20年內金融計量學發展中最重大的創新。所有的波動率模型中,ARCH類模型無論從理論研究的深度還是從實證運用的廣泛性來説都是獨一無二的。

ARCH模型指自迴歸條件異方差模型，該模型針對因變量的方差進行描述並預測。其中，被解釋變量的方差按照公式的設定而依賴於該變量的過去值，或依賴於一些獨立的外生變量。

ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下，某一時刻一個噪聲的發生是服從正態分佈。該正態分佈的均值為零，方差是一個隨時間變化的量(即為條件異方差)。並且這個隨時間變化的方差是過去有限項噪聲值平方的線性組合(即為自迴歸)。這樣就構成了自迴歸條件異方差模型。

由於需要使用到條件方差，我們這裏不採用恩格爾的比較嚴謹的複雜的數學表達式，而是採取下面的表達方式，以便於我們把握模型的精髓。見如下數學表達：

(1)其中，

★

為因變量，

★

為自變量，

★

為誤差項。

如果誤差項的平方服從AR(q)過程，即

(2)其中，

獨立同分布，並滿足

,則稱上述模型是自迴歸條件異方差模型。簡記為ARCH模型。稱序列

服從q階的ARCH的過程，記作

－ARCH(q)。為了保證

為正值，要求

上面（1）和（2）式構成的模型被稱為迴歸－ARCH模型。ARCH模型通常對主體模型的隨機擾動項進行建模分析。以便充分的提取殘差中的信息，使得最終的模型殘差ηt成為白噪聲序列。

從上面的模型中可以看出，由於噪聲的方差是過去有限項噪聲值平方的迴歸，也就是説噪聲的波動具有一定的記憶性，因此，如果在以前時刻噪聲的方差變大，那麼在此刻噪聲的方差往往也跟着變大；如果在以前時刻噪聲的方差變小，那麼在此刻噪聲的方差往往也跟着變小。體現到期貨市場，那就是如果前一階段期貨合約價格波動變大，那麼在此刻市場價格波動也往往較大，反之亦然。這就是ARCH模型所具有描述波動的集羣性的特性，由此也決定它的無條件分佈是一個尖峯胖尾的分佈。

ARCH模型能準確地模擬時間序列變量的波動性的變化，它在金融工程學的實證研究中應用廣泛，使人們能更加準確地把握風險（波動性），尤其是應用在風險價值（Value at Risk）理論中，在華爾街是人盡皆知的工具。 ^[1]