點到直線距離

一、總公式：

設直線 L 的方程為Ax+By+C=0，點 P 的座標為（x0,y0），則點 P 到直線 L 的距離就是：

同理可知，當P（x0,y0），直線l的解析式為y=kx+b時，則點P到直線L的距離為

考慮點(x0,y0,z0)與空間直線x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有d=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l²+m²+n²)

二、引申公式：

公式①：設直線l1的方程為

；直線l2的方程為

則 2條平行線之間的間距：

公式②：設直線l1的方程為

；直線l2的方程為

則 2條直線的夾角

且

(1)理解點到直線距離公式的推導過程，並且會使用公式求出定點到定直線的距離；

(2)瞭解兩條平行直線的距離公式，並能推導

的平方

過程與方法目標：

(1)通過對點到直線距離公式的推導，提高學生對數形結合的認識，加深用“計算”來處理“圖形”的意識；

(2)把兩條平行直線的距離關係轉化為點到直線距離。

證：根據定義，點P(x₀,y₀)到直線l：Ax+By+C=0的距離是點P到直線l的垂線段的長，設點P到直線的垂線為l'，垂足為Q，則l'的斜率為

則l'的解析式為y-y₀=

(x-x₀)把l和l'聯立得l與l'的交點Q的座標為((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))由兩點間距離公式得

所以

，公式得證。

證：如圖1，設直線的一個法向量，Q直線上任意一點，則。從而點P到直線的距離為：