黃金分割點

公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割。

黃金分割(4張)

公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯（Eudoxus，約公元前400 年～前347年)曾提出一個問題：能否將一條線 段分為不相等的兩部分，使較長部分為原線段和較短部分的比例中項 ^[2]  ，他研究了這一問題並建立起比例理論。他認為所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對於全部之比，等於另一部分對於該部分之比。而計算黃金分割最簡單的方法，是計算斐波那契數列1，1，2，3，5，8，13，21，。..後二數之比2/3，3/5，5/8，8/13，13/21，...近似值的。

黃金分割在文藝復興前後，經過阿拉伯人傳入歐洲，受到了歐洲人的歡迎，他們稱之為"金法"，17世紀歐洲的一位數學家，甚至稱它為"各種算法中最可寶貴的算法"。這種算法在印度稱之為"三率法"或"三數法則"，也就是現在常説的比例方法。

公元前300年前後歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著。

中世紀後，黃金分割被披上神秘的外衣，意大利數學家帕喬利稱中外比為神聖比例，並專門為此著書立説。德國天文學家開普勒稱黃金分割為神聖分割。

到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數有許多有趣的性質，人類對它的實際應用也很廣泛:最著名的例子是優選學中的黃金分割法或0.618法，是由美國數學家基弗於1953年首先提出的，70年代由華羅庚提倡在中國推廣 ^[1]  。

已知線段AB，按照如下方法作圖（圖1）：

（1）經過點B作BD⊥AB，使BD= AB/2。

（2）連接AD，在DA上截取DE=DB。

（3）在AB上截取AC=AE.則點C為線段AB的黃金分割點。

黃金分割點是指分一線段為兩部分，使得原來線段的長跟較長的那部分的比為黃金分割的點。線段上有兩個這樣的點。利用線段上的兩個黃金分割點，可以作出正五角星，正五邊形等。

做黃金分割的一種方法為：

設一條線段AB的長度為a，C點在靠近B點的黃金分割點上且AC為b　AC/AB=BC/AC　b^2=a×(a-b)　b^2=a^2-ab　a^2-ab+(1/4)b^2=(5/4)×b^2　(a-b/2)^2=(5/4)b^2　a-b/2=（√5/2）×b　a-b/2=(√5)b/2　a=b/2+(√5)b/2　a/b=(√5+1)/2　∴b/a=2/(√5+1)　b/a=2(√5-1)/(√5+1)(√5-1)　b/a=2(√5-1)/4　b/a=(√5-1)/2

黃金分割點通常用希臘字母Φ表示這個值。黃金分割的奇妙之處，在於其比例與其倒數是一樣的。例如：1.618的倒數是0.618，而1.618:1與1:0.618是一樣的。黃金分割點的確切值為

，是一個無理數，其前100位為：0.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 09179805762862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374，因此，一般取0.618作為黃金分割點的運算數值。

因為它在造型藝術中具有美學價值，在工藝美術和日用品的長寬設計中，採用這一比值能夠引起人們的美感，在實際生活中的應用也非常廣泛，建築物中某些線段的比就科學採用了黃金分割，舞台上的報幕員並不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一側，以站在舞台長度的黃金分割點的位置最美觀，聲音傳播的最好。就連植物界也有采用黃金分割的地方，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，就會看到葉子是按照黃金分割的規律排列着的。在很多科學實驗中，選取方案常用一種0.618法，即優選法，它可以使我們合理地安排較少的試驗次數找到合理的西方和合適的工藝條件。正因為它在建築、文藝、工農業生產和科學實驗中有着廣泛而重要的應用，所以人們才珍貴地稱它為"黃金分割"。

黃金分割(Golden Section)是一種數學上的比例關係。黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，藴藏着豐富的美學價值。應用時一般取0.618 ，就像圓周率在應用時取3.14一樣。

並且人們認為如果符合這一比例的話，就會顯得更美、更好看、更協調。在生活中，對“黃金分割”有着很多的應用。如：最完美的人體：肚臍到腳底的距離/頭頂到腳底的距離=0.618；最漂亮的臉龐：眉毛到脖子的距離/頭頂到脖子的距離=0.618。

在企業經營管理中，從經驗來看，資產負債率（即負債總額除資產總額）應以黃金分割點為臨界點，如果高於這個點就可能面臨較大經營風險（當然象銀行這類企業可以例外），目前正在進行科學論證中。

研究人員從拍賣行中選取了200名世界上最著名的藝術家的作品，通過對銷售記錄進行統計後發現，大部分藝術家創作出最昂貴作品的年齡是在42歲左右，將這個年齡除以他們壽命的平均值後，得數為“0.6198”，這個數字和科學界公認的黃金分割點“0.6180”極為接近。研究還發現，即使是一些英年早逝的天才，他們也是在自己生命的“黃金分割點”前後創作了自己最偉大的作品。

研究者表示，這項調查中不少藝術家去世年齡較早，可能拉低了最佳年齡的數值，有些藝術家其實是在42歲以後取得非凡成就的。如畢加索和莫奈分別是在56歲和60歲時創作出了最有價值的作品。這兩位藝術家的巔峯雖然推後了不少，但他們也都是在自己生命的“黃金分割點”前後達到藝術創作頂峯的。

這個數值的作用不僅僅體現在諸如繪畫、雕塑、音樂、建築等藝術領域，而且在管理、工程設計等方面也有着不可忽視的作用。

讓我們首先從一個數列開始，它的前面幾個數是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…。.這個數列的名字叫做"斐波那契數列"，這些數被稱為"斐波那契數"。特點是即除前兩個數（數值為1）之外，每個數都是它前面兩個數之和。

斐波那契數列與黃金分割有什麼關係呢？經研究發現，相鄰兩個菲波那契數的比值是隨序號的增加而逐漸趨於黃金分割比的。即f(n)/f(n-1)-→1.618…。由於斐波那契數都是整數，兩個整數相除之商是有理數，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數。但是當我們繼續計算出後面更大的斐波那契數時，就會發現相鄰兩數之比確實是非常接近黃金分割比的。

一個很能説明問題的例子是五角星/正五邊形。五角星是非常美麗的，我們的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，這是為什麼？因為在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關係都是符合黃金分割比的。正五邊形對角線連滿後出現的所有三角形，都是黃金分割三角形。

由於五角星的頂角是36度，這樣也可以得出黃金分割的數值為2Sin18度。

其實在自然界和生活中黃金分割點是隨處可見的。 ^[3] 

人的肚臍的人體總長的黃金分割點，人的膝蓋是肚臍到腳跟的黃金分割點。大多數門窗的寬長之比也是0.618。 ^[3] 

在自然界中，有些植物的莖上兩張相鄰葉柄的夾角是137°28’。這恰好是把圓周分為1:0.618的兩條半徑的夾角，據研究發現，這種角度對植物的通風和採光效果最佳。 ^[3] 

建築師們對0.618特別偏愛之，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎聖母院或者是法國的埃菲爾鐵塔都有和0.618有關的數據⋯⋯ ^[3]