黃金分割比

黃金分割比，也被稱為費波那契數列或黃金比例，是數學中的一種特殊比例關係。它的定義是，將一條線段分為兩部分，使得較長部分與整條線段的比等於較短部分與較長部分的比，這個比值就是黃金分割比。

黃金分割比通常用希臘字母Φ（Phi）表示。它是一個無理數，其近似值通常取0.618。

黃金分割奇妙之處，在於其比例與其倒數是一樣的，通過簡單的計算就可以發現：

0.618/1=1/0.618

(1-0.618)/0.618=0.618

讓我們首先從一個數列開始，它的前面幾個數是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..這個數列的名字叫做"菲波那契數列"，這些數被稱為"菲波那契數"。特點是除前兩個數（數值為1）之外，每個數都是它前面兩個數之和。

菲波那契數列與黃金分割有什麼關係呢？經研究發現，相鄰兩個菲波那契數的比值隨序號的增加而逐漸趨於黃金分割比，即f(n-1)/f(n)-→0.618…。由於菲波那契數都是整數，兩個整數相除之商是有理數，所以它只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數。但是，當我們繼續計算出後面更大的菲波那契數時，就會發現相鄰兩數之比確實非常接近黃金分割比。

五角星非常美麗，我們的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，這是為什麼？因為，五角星中的所有線段長度關係都符合黃金分割比，展示了黃金分割的美麗。正五邊形的對角線連滿後，所有形成的三角形也都是黃金分割三角形。

五角星的頂角為36度，這也可以計算黃金分割的數值：2sin(18°)≈0.618。

將一條線段分割為兩部分，使得較長的那部分與原線段長度的比例等於黃金分割比的點，被稱為黃金分割點。在一條線段上存在兩個黃金分割點。

利用這兩個黃金分割點，我們可以輕鬆繪製出正五角星和正五邊形。

黃金分割是一種被廣泛應用於藝術和建築中的比例關係，具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，藴藏着豐富的美學價值。

在建築方面，黃金分割比被用來確定建築物的比例和尺寸。在我國的馬王堆漢墓出土的文物中，就有按照黃金分割比製作的長寬。古埃及的金字塔、巴黎的聖母院、法國的埃菲爾鐵塔、希臘雅典的巴特農神廟等著名建築都運用了黃金分割比。在藝術領域，黃金分割比也被藝術家們廣泛運用在自己的作品中。在西方的藝術史中，人物經常使用黃金分割比進行刻畫，如達芬奇的《蒙娜麗莎》、《最後的晚餐》，以及拉斐爾的《花園中的母與子》等畫作。

巴托克音樂中對黃金分割法則體現得淋漓盡致，令人驚歎不己，它集中反映在作品曲式結構與音程法則中。關於巴托克音樂作品中對曲式結構的邏輯性表現為高度的均衡感和適度感，高度的對稱和統一特徵。由此看來，作品內部比例和黃金標界的規律是有着密切的聯繫的，蘭德衞稱這種聯繫不下於維也納古典樂派的方整型樂段在樂曲結構方面的重要性。巴托克的大量作品中，樂曲的高潮恰好在黃金分割點上，即樂曲總長乘以0.618得出的積為樂曲的高潮點。因此，把樂曲可分成長段(總長×0.618)與短段(也可理解為總長×0.382)兩大部分，即正方與負方。黃金標界除表現在樂曲總長上外，還可表現在各分段上，長段又可分為兩部分，短段也可分為兩部分，法則與黃金分割法相同。這樣就形成了長段—短段—黃金分割點—短段—長段的對稱圖式，可稱之為“對稱軸”，軸心在黃金時代分割點上。此處的“軸心”原理與對稱軸在意義上有所不同，它不是以線段長度的數字為依據，而是以音樂情緒發展為依據。此處的數字只是體現了黃金分割在結構造型上的美學意義。 ^[1] 

在實際生活中，黃金分割的應用非常廣泛。建築物中的某些線段比例就採用了黃金分割，舞台上的報幕員也並非站在舞台正中央，而是偏在台上一側，以站在舞台長度的黃金分割點的位置最為美觀，聲音傳播的效果也最好。甚至連植物界也遵循黃金分割的規律，從一棵嫩枝的頂端向下看，可以看到葉子是按照黃金分割的規律排列着的。在很多科學實驗中，選取方案常用一種0.618法，即優選法，它可以使我們合理地安排較少的試驗次數找到合理的方向和合適的工藝條件。正因為它在建築、文藝、工農業生產和科學實驗中有着廣泛而重要的應用，所以人們才珍貴地稱它為"黃金分割"。

公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派對正五邊形和正十邊形的作圖進行了研究，因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割

公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯對黃金分割進行了系統的研究，並建立起比例理論。他的工作為後續關於黃金分割的理論奠定了基礎。

公元前300年前後，歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著。

在中世紀之後，黃金分割被賦予了神秘的外衣。意大利數學家帕喬利稱中末比為神聖比例，併為此著書立説。德國天文學家開普勒稱黃金分割為神聖分割。

到了19世紀，黃金分割這一名稱逐漸通行。

隨着時間的推移，黃金分割數被發現了許多有趣的性質，並且被廣泛地應用於現實生活中。最著名的例子是在優選學中使用的黃金分割法或0.618法，是由美國數學家基弗於1953年首先提出的，70年代在中國得到了推廣。

總的來説，黃金分割的歷史發展過程跨越了幾千年的時間，從古希臘畢達哥拉斯學派開始，經過多位傑出數學家的研究和發展，最終在現實生活中找到了廣泛的應用。