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黃金分割數
鎖定
黃金分割數是數學專業術語。
- 中文名
- 黃金分割數
- 首先提出
- 歐道克薩斯
- 傳入歐洲
- 文藝復興前後傳入歐洲
- 出 處
- 古希臘
黃金分割數簡介
數學的黃金分割法
把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等於另一部分與這部分之比。其比值是一個無理數，取其前三位數字的近似值是0.618。由於按此比例設計的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。
[1]
這是一個十分有趣的數字，我們以0.618來近似，通過簡單的計算就可以發現：
1/0.618=1.618
(1-0.618)/0.618=0.618
斐波那契數列與黃金分割有什麼關係呢？經研究發現，相鄰兩個斐波那契數的比值是隨序號的增加而逐漸趨於黃金分割比的。即f(n)/f(n-1)-→1.618…。由於斐波那契數都是整數，兩個整數相除之商是有理數，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數。但是當我們繼續計算出後面更大的斐波那契數時，就會發現相鄰兩數之比確實是非常接近黃金分割比的。
一個很能説明問題的例子是五角星/正五邊形。五角星是非常美麗的，我們的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，這是為什麼？因為在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關係都是符合黃金分割比的。正五邊形對角線連滿後出現的所有三角形，都是黃金分割三角形。
由於五角星的頂角是36度，這樣也可以得出黃金分割的數值為2Sin18 。
黃金分割點約等於0．618：1
是指分一線段為兩部分，使得原來線段的長跟較長的那部分的比為黃金分割的點。線段上有兩個這樣的點。
利用線段上的兩黃金分割點，可作出正五角星，正五邊形。
黃金分割數發展歷史
2000多年前,古希臘雅典學派的第三大算學家歐道克薩斯首先提出黃金分割。所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對於全部之比，等於另一部分對於該部分之比。而計算黃金分割最簡單的方法，是計算斐波契數列1，1，2，3，5，8，13，21，...後二數之比2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,...近似值的。
黃金分割在文藝復興前後，經過阿拉伯人傳入歐洲，受到了歐洲人的歡迎，他們稱之為"金法"，17世紀歐洲的一位數學家，甚至稱它為"各種算法中最可寶貴的算法"。這種算法在印度稱之為"三率法"或"三數法則"，也就是我們現在常説的比例方法。
其實有關"黃金分割"，我國也有記載。雖然沒有古希臘的早，但它是我國古代數學家獨立創造的，後來傳入了印度。經考證。歐洲的比例算法是源於我國而經過印度由阿拉伯傳入歐洲的，而不是直接從古希臘傳入的。
因為它在造型藝術中具有美學價值，在工藝美術和日用品的長寬設計中，採用這一比值能夠引起人們的美感，在實際生活中的應用也非常廣泛，建築物中某些線段的比就科學採用了黃金分割，舞台上的報幕員並不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一側，以站在舞台長度的黃金分割點的位置最美觀，聲音傳播的最好。就連植物界也有采用黃金分割的地方，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，就會看到葉子是按照黃金分割的規律排列着的。在很多科學實驗中，選取方案常用一種優選法，它可以使我們合理地安排較少的試驗次數找到合理的想法和合適的工藝條件。正因為它在建築、文藝、工農業生產和科學實驗中有着廣泛而重要的應用，所以人們才珍貴地稱它為"黃金分割"。
黃金分割〔Golden Section〕是一種數學上的比例關係。黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，藴藏着豐富的美學價值。應用時一般取0.618 ，就像圓周率在應用時取3.14一樣。
發現歷史
由於公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割。
公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題，並建立起比例理論。
中世紀後，黃金分割被披上神秘的外衣，意大利數家帕喬利稱中末比為神聖比例，並專門為此著書立説。德國天文學家開普勒稱黃金分割為神聖分割。
到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數有許多有趣的性質，人類對它的實際應用也很廣泛。最著名的例子是優選學中的黃金分割法或0.618法，是由美國數學家基弗於1953年首先提出的，70年代在中國推廣。教學中，取值為（√5－1）÷2，通常用希臘字母φ表示這個值。
黃金分割奇妙之處，在於其比例與其倒數是一樣的。例如：1.618的倒數是0.618，而1.618:1與1:0.618是一樣的。
黃金分割數是無理數，前面的1024位為:
0.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576
2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374
8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766
7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788
0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963
1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364
8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221
2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788
3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053
1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710
1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834
7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764
8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115
8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131
7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596
1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175
3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093
9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264
7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149
9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362
1076738937 6455606060 5922...
#include <iostream>
using namespace std;
int main (void)
{
int d,e=2,i=0,j,k=10,N,m;
cout<<"請輸入黃金分割數位數:\n",cin>>N,N++;
int *a=new int[2*N],*b=new int[N],*c=new int[2*N];
while(++i<2*N)a[i]=b[i/2]=c[i]=0;
for(cout<<"0.6",a[b[1]=m=2]=4;--N>1;)
for(b[m]=e,d=0,j=k;--j+1&&!d;)
{
for(c[i=2*m]=j*j%k,e=j*j/k;--i>m-2;e=d/k)c[i]=(d=e+b[i-m+1]*j)%k;
for(i=d=m-1;i<2*m&&a[i]<=c[i];i++)(a[i]<c[i])?d=0:1;
if(d)for(e=j<<1,cout<<j,i=1+2*m++;--i>m-2;)if((a[i]-=c[i])<0)a[i]+=k,a[i-1]--;
}
delete []a,delete []b,delete []c,cin.ignore(),cin.ignore();
return 0;
}
二、攝影·黃金分割法
一幅優秀的攝影作品，不僅要有深刻的主題思想和內容，同時還應具備與內容相一致的優美形式和協調的構圖。初學攝影，在取景時瞭解和掌握黃金分割法。對於提高作品美學價值很有幫助。
黃金分割法，就是把一條直線段分成兩部分，其中一部分對全部的比等於其餘一部分對這一部分的比，常用2：3，3：5，5：8等近似值的比例關係迸引美術設計和攝影構圖，這種比例也稱黃金律。在攝影構圖中，常使用的概略方法，就是在畫面上橫、豎各畫兩條與邊平行、等分的直線，將畫面分成9個相等的方塊，稱九宮圖。直線和橫線相交的4個點，稱黃金分割點。
根據經驗，將主體景物安排在黃金分割點附近，能更好地發揮主體景物在圖面上的組織作用，有利於周圍景物的協調和聯繫，容易引起美感，產生較好的視覺效果，使主體景物更加鮮明、突出。
另外，人們看圖片和書刊有個習慣，就是由左向右移動，視線經過運動，往往視點落於右側，所以在構圖時把主要景物、醒目的形象安置在右邊，更能收到良好的效果。
初學攝影取景，可選選用“黃金分割法”的練習構圖，經過多次實踐，有了自己的經驗和體會以後，就可根據實際情況自己進行創作了。如果都千篇一律，生搬硬套這一種形式，也不可取，時間久了反而會束縛自己的創作思想，使拍出的照片四平八穩，缺乏變化，貧乏無味，就談不上有什麼藝術性。
用黃金分割法確定主體的位置，並沒有完成構圖的整個過程，還應注意安排必要的空間，考慮主體與陪體之間的呼應，充分表達主題的思想內容。同時，還要考慮影調，光線處理，色彩的表現等等。
為了提高基本功，還有很重要的一點，就是要認真學習美學知識，加強美學修養，並通過拍攝實踐，不斷總結，積累經驗，多拍出一些有較高藝術水平的照片來。
圖A
如圖A：“黃金分割”公式可以從一個正方形來推導，將正方形底邊分成二等分，取中點X，以X為圓心，線段XY為半徑作圓，其與底邊直線的交點為Z點，這樣將正方形延伸為一個比率為5︰8的矩形，（Y’點即為“黃金分割點”）， A︰C = B︰A = 5︰8。幸運的是，35MM膠片幅面的比率正好非常接近這種5︰8的比率（24︰36 = 5︰7.5）
圖B
如圖B：通過上述推導我們得到了一個被認為很完美的矩形，連接該矩形左上角和右下角作對角線，然後從右上角向Y’點（黃金分割點，見圖A）作一線段交於對角線，這樣就把矩形分成了三個不同的部分。現在，在理論上已經完成了黃金分割，下一步就可以將你所要拍攝的景物大致按照這三個區域去安排，也可以將示意圖翻轉180度或旋轉90度來進行對照。
三分法則
“三分法則”實際上僅僅是“黃金分割”的簡化版，其基本目的就是避免對稱式構圖，對稱式構圖通常把被攝物置於畫面中央，這往往令人生厭。在圖C1和C2中，可以看到與“黃金分割”相關的有四個點，用“十”字線標示。用“三分法則”來避免對稱在使用中有兩種基本方法，第一種：我們可以把畫面劃分成分別佔1/3和2/3面積的兩個區域。
圖C2
第二種：直接參照圖示的四個“黃金分割”點。例如，設想我們看到了非常引人入勝的風景，但缺少具有優美幾何結構的被攝主體，這樣拍出來的照片只會是一個空洞泛味的場景，那該如何處理呢？試着尋找一個與這種單調的環境形成鮮明對比的物體，並將這一被攝物置於如圖C2中的其中一個“十”字點位置，這樣照片就有了一個明顯的錨點，並將觀眾的目光由此出發引導至整個風景。
圖D·樹枝形成天然畫框使山岩更為突出
有時在我們看到的場景中有一個引人注目的被攝主體，但往往由於主體周圍雜亂的環境分散了觀眾的注意力而削弱了主體的吸引力，使照片最終的效果令人很失望。試試尋找一個能夠排除雜亂環境干擾的天然畫框使觀眾注意力集中於被攝主體，如圖D利用主體周圍的樹枝形成一個天然畫框從而使中間的山岩更為突出。
圖F·小船和涼亭打破了原本泛味的對稱
交叉線/對角線實際上又是“黃金分割”的另一形式，其基本思想是提供了一條指引你視線的引導線，較為理想的是某兩個邊角之間的連線。傳統的方法認為左上角是最好的起始點，因為大多數人習慣從這裏開始瀏覽一幅圖畫（譯者注：這一觀點其實很多人看法不同）。但這種對角線如果是單一的直線往往會很平泛而令人厭煩，所以總要在圖中有某種點綴（如圖F）。
- 參考資料
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- 1. 黃金分割數 ．360doc個人圖書館．2013-12-09[引用日期2017-06-01]
