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馬克士威應力張量

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在電磁學裏，馬克士威應力張量，即麥克斯韋應力張量(Maxwell stress tensor)是描述電磁場帶有之應力的二階張量。麥克斯韋應力張量可以表現出電場力、磁場力和機械動量之間的相互作用。對於簡單的狀況，例如一個點電荷自由地移動於均勻磁場，應用洛倫茲力定律，就可以很容易地計算出點電荷所感受的作用力。但是，當遇到稍微複雜一點的狀況時，這很普通的程序會變得非常困難，方程洋洋灑灑地一行又一行的延續。因此，物理學家通常會聚集很多項目於麥克斯韋應力張量內，然後使用張量數學來解析問題。
中文名
馬克士威應力張量
外文名
Maxwell stress tensor
別    名
麥克斯韋應力張量
範    圍
電磁學裏
定    義
二階張量

目錄

  1. 1 導引
  2. 2 麥克斯韋應力張量的性質
  3. 3 動量守恆定律
  4. 4 相關條目

馬克士威應力張量導引

先列出麥克斯韋方程組，高斯定律：
高斯磁定律：
法拉第感應定律：
麥克斯韋-安培定律：
其中，
是電場，
是磁場，
是電荷密度，
是電流密度，
是電常數，
是磁常數。
從洛倫茲力定律開始，一個電荷分佈所感受到的單位體積的作用力
是
應用高斯定律和麥克斯韋-安培定律，把電荷密度和電流密度替換掉，只讓電場和磁場出現於方程：
應用乘積法則和法拉第感應定律：
為了使
的項目
的項目能夠相互對稱，加入一個
項目：
應用矢量恆等式，對於任意矢量
：
將
的方程內的旋度項目除去：
這方程最右邊項目涉及了坡印亭矢量：
設定麥克斯韋應力張量
（以英文字母上面加兩隻箭矢符號來標記二階張量）：
其中，
是克羅內克函數。
定義一個矢量
與麥克斯韋應力張量
的內積為
那麼，一個電荷分佈所感受到的單位體積的作用力
是

馬克士威應力張量麥克斯韋應力張量的性質

麥克斯韋應力張量是一個對稱張量，表達為
麥克斯韋應力張量的單位是牛頓/平方米。麥克斯韋應力張量的 ij 元素詮釋為，朝着 i-軸方向，施加於 j-軸的垂直平面，單位面積的作用力；對角元素代表負壓力，非對角元素代表剪應力。對角元素給出張力（拖拉力）作用於其對應軸的垂直面微分元素。不同於理想氣體因為壓力而施加的作用力，在電磁場內的一個面元素也會感受到方向不垂直於其面的剪應力。這是由非對角元素給出的。 [1] 

馬克士威應力張量動量守恆定律

在一個體積
內的電荷，所感受到的總作用力
是
應用散度定理，可以得到
其中，
是體積
的閉合表面。
根據牛頓第二定律，
其中，
是動量。
所以，電荷的動量
可以表達為
其中，
是儲存於電磁場的動量（坡印亭矢量
是由電場和磁場組成的一個複合矢量）。
稍加編排，可以得到動量守恆定律的積分方程：
動量守恆定律闡明，一個體積的總動量（電荷的動量加上電磁場的動量）的增加速率等於每秒鐘流入閉合表面的動量。負的麥克斯韋應力張量
是一個動量通量密度。
動量守恆定律也能以微分形式表達為
其中，
是電荷的動量密度，
是電磁場的動量密度。 [2] 

馬克士威應力張量相關條目

參考資料
  • 1.    Jefimenko, Oleg. Correct Use of Maxwell Stress Equations for Electric and magnetic Fields. American Journal of Physics. Nov 1983, 51 (11): pp. 988–996.
  • 2.    Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 351–356. ISBN 0-13-805326-X.