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魔方矩陣

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魔方矩陣又稱幻方，是有相同的行數和列數，並在每行每列、對角線上的和都相等的矩陣。魔方矩陣中的每個元素不能相同。你能構造任何大小（除了2x2）的魔方矩陣。
中文名
魔方矩陣
定    義
是有相同的行數和列數，並在每行每列、對角線上的和都相等的矩陣
別    名
幻方
最早記錄於
我國古代的洛書

目錄

  1. 1 基本介紹
  2. 2 歷史
  3. 3 魔方構造
  4. ▪ N 為奇數時
  1. ▪ N為4的倍數時
  2. ▪ N 為其它偶數時
  3. 4 算法設計
  4. 5 魔方函數
  5. 6 C語言版的魔方矩陣算法
  1. 7 Java版的魔方矩陣算法

魔方矩陣基本介紹

魔方矩陣 魔方矩陣
在《射鵰》中郭黃二人被裘千仞追到黑龍潭，躲進瑛姑的小屋。瑛姑出了一道題：數字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及兩條對角線上的和都相等。這道題難倒了瑛姑十幾年，被黃蓉一下子就答出來了。
4 9 2
3 5 7
8 1 6
這就是一個最簡單的3階平面魔方。因為魔方的智力性和趣味性，很多遊戲和玩具都與魔方有關，如捉放曹、我們平時玩的六面體，也成為學習編程時的常見問題。

魔方矩陣歷史

魔方又稱幻方、縱橫圖、九宮圖，最早記錄於我國古代的洛書。據説夏禹治水時，河南洛陽附近的大河裏浮出了一隻烏龜，背上有一個很奇怪的圖形，古人認為是一種祥瑞，預示着洪水將被夏禹王徹底制服。後人稱之為"洛書"或"河圖"，又叫河洛圖。
南宋數學家楊輝，在他著的《續古摘奇算法》裏介紹了這種方法：只要將九個自然數按照從小到大的遞增次序斜排，然後把上、下兩數對調，左、右兩數也對調；最後再把中部四數各向外面挺出，幻方就出現了。 (摘自《趣味數學辭典》)
在西方，阿爾佈雷特·丟勒於1514年創作的木雕《憂鬱》是最早關於魔方矩陣的記載。有學者認為，魔方矩陣和風靡一時的鍊金術有關。幾個世紀以來，魔方矩陣吸引了無數的學者和數學愛好者。本傑明·富蘭克林就做過有關魔方矩陣的實驗。
最簡單的魔方就是平面魔方，還有立體魔方、高次魔方等。對於立體魔方、高次魔方世界上很多數學家仍在研究。
每行、每列及對角線之和被稱為魔術常量或魔法總和，M。
其中，n為階數。
例如，如果n=3，則M=[3*(3^2+1)]/2 = 15.

魔方矩陣魔方構造

平面魔方的一般定義：將自然數 1 到 N^2， 排列 N 行 N 列的方陣，使每行、每列及兩條主對角線上的 N 個數的和都等於N (N^2+1)/2，這樣的方陣稱為 N 階幻方。
通過搜索整理後，得到下面的算法：
對平面魔方的構造，分為三種情況：N為奇數、N為4的倍數、N為其它偶數(4n+2的形式)

魔方矩陣N 為奇數時

(1) 將1放在第一行中間一列;
(2) 從2開始直到n×n止各數依次按下列規則存放：
按 45°方向行走，如向右上
每一個數存放的行比前一個數的行數減1，列數加1
(3) 如果行列範圍超出矩陣範圍，則迴繞。
例如1在第1行，則2應放在最下一行，列數同樣減1;
(4) 如果按上面規則確定的位置上已有數，或上一個數是第1行第n列時，
則把下一個數放在上一個數的下面。

魔方矩陣N為4的倍數時

採用對稱元素交換法。
首先把數1到n×n按從上至下，從左到右順序填入矩陣
然後將方陣的所有4×4子方陣中的兩對角線上的數關於大方陣中心作中心對稱交換（注意是各4×4子方陣對角線上的數）， 即a(i,j)與a(n+1-i,n+1-j)交換，所有其它位置上的數不變。(或者將對角線不變，其它位置對稱交換也可)

魔方矩陣N 為其它偶數時

當n為非4倍數的偶數(即4n+2形)時：首先把大方陣分解為4個奇數(2m+1階)子方陣。
按上述奇數階魔方給分解的4個子方陣對應賦值
上左子陣最小(i)，下右子陣次小(i+v)，下左子陣最大(i+3v)，上右子陣次大(i+2v)
即4個子方陣對應元素相差v，其中v=n*n/4
四個子矩陣由小到大排列方式為 ① ③ ④ ②
然後作相應的元素交換：a(i,j)與a(i+u,j)在同一列做對應交換(j<t或j>n-t+2),
注意其中j可以取零。
a(t-1,0)與a(t+u-1,0)；a(t-1,t-1)與a(t+u-1,t-1)兩對元素交換
其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交換使每行每列與兩對角線上元素之和相等。

魔方矩陣算法設計

魔方矩陣算法演示 魔方矩陣算法演示 [1]
先在矩陣第一行中間的位置上放1，然後把數字按照升序沿着左上角放置到矩陣中。如果越界了，就假設周圍還有一個矩陣，將數字放到那個位置上；如果那個位置已經被佔據了，就跳過該位置放到下面的位置，然後重新按照原來的方法放。如圖：在5×5的魔術矩陣中，放完1以後，就把2放到1的左上角，但是此時已經越界了。假設，在原來的矩陣上面還有一個矩陣，則數字2所放的位置應該是在最後一行的第二個位置，接下去就要把數字3放到2的左上角，依次放下去，當放到6的時候，由於1已經將下一個位置佔了，所以就放到5下面的位置。依照這樣的規律直到把數字都放完。

魔方矩陣魔方函數

Matlab中自動生成魔方矩陣的函數:
magic(n) n是矩陣維數,例如在MATLAB命令窗口輸入
magic(5) ，將隨機產生5階魔方陣。

魔方矩陣C語言版的魔方矩陣算法

// 交換
void Exchange(int **pj, int tr, int tc, int n) {
    n++;
    if (1 <= tr && tr <= n / 2 && 1 <= tc && tc <= n) {
        pj[tr][tc] += pj[n - tr][n - tc];
        pj[n - tr][n - tc] = pj[tr][tc] - pj[n - tr][n - tc];
        pj[tr][tc] -= pj[n - tr][n - tc];
    }
}

int main(){

    int n, i = 0, j = 0, **pj;
    int tr, tc;

    printf("輸入魔方矩陣的階層：");
        scanf("%d",&n);
    // 初始化二維數組
    pj = (int**)malloc(sizeof(int **) * (n + 1));
    for (i = 0; i < (n + 1); i++)
        pj[i] = (int*)malloc(sizeof(int *) *  (n + 1));

    // n為奇數時
    if (n % 2 == 1) {
        // 1.將1放至第一行中間
        i = 1; j = n / 2 + 1;
        pj[1][n / 2 + 1] = 1;

        // 2.沿右上45°，依次放置剩下的數
        for (int k = 2; k <= n * n; k++) {
            // 行數上移，列數右移，即右上45°移動
            tr = i - 1; tc = j + 1;

            // 條件一：若超出，則迴繞
            if (tr < 1) tr = n;
            if (tc > n) tc = 1;
            // 條件二：若有數據，則放在上一個數字之下
            if (0 < pj[tr][tc] && pj[tr][tc] <= n * n) {
                tr = i + 1; tc = j;
                if (tr < 0) tr = n;
            }
            pj[tr][tc] = k;
            i = tr; j = tc;
        }

    }
    // n為4的倍數時
    else if (n % 4 == 0) {
        i = 1; j = 1;

        // 1.先將數據從上到下，從左到右填入
        for (int k = 1; k <= n * n; k++) {
            pj[i][j++] = k;
            if (j > n) { j = 1; i++; }
        }

        // 2.將方陣的所有4*4子方陣中的兩對角線上的數
        // 關於大方陣中心作中心對稱交換

        i = 1; j = 1;
        for (size_t r = 0; r < n / 4 + 1; r++) {
            for (size_t c = 0; c < n / 4 + !(r % 2); c++) {

                tr = 2 * r + i;
                tc = 4 * c + r % 2 * 2 + j;

                Exchange(pj, tr, tc, n);
                Exchange(pj, tr - 1, tc, n);
                Exchange(pj, tr, tc - 1, n);
                Exchange(pj, tr - 1, tc - 1, n);
            }
        }

    }

    for (i = 1; i <= n; i++) {
        for (j = 1; j <= n; j++)
            printf("%d\t", pj[i][j]);
        printf("\n");
    }
}

魔方矩陣Java版的魔方矩陣算法

/**
*魔術矩陣，也被稱為魔方矩陣。目前魔術矩陣主要有三種結構：N為奇數、N為4的倍數、N為其它偶數（4n+2）。<br/>
*其中目前很多數學家都還在研究“N為4的倍數”、“N為其它偶數（4n+2）”，可見它們對於初學者而言太難。<br/>
*因此此處演示的代碼，僅僅考慮N為奇數的情況。<br/>
*此代碼作為課件提供給學生參考，在學完數組、循環、判斷後練習。<br/>
*@authorluo_wenqiang在126點com
*@version1.0.0
*/
classMagicArray
{
publicstaticvoidmain(String[]args)
{
/*
1.把1放在第一行的最中間
2.每個數字向右上角填充
3.如果往右已經是最大數了，就從最左邊重新繼續
4.如果往上已經是最大數了，就從最下邊重新繼續
5.如果遇到行數的整數倍，則下一個數直接放到該數的下面
*/
/*
1.聲明一個n*n
二維數組
2.聲明一個int類型的變量記錄每個元素遞增的值，每次自加即可
3.需要一個嵌套循環來填充二維數組
3.1.把橫向的索引認為x，x=n/2
3.2.把縱向的所應認為y，y=0
3.3.在循環中，先把x、y座標上的值填充，然後計算下一個座標
*/
intn=3;
int[][]array=newint[n][n];
intcounter=1;//自加的計數器
intx=n/2;
inty=0;
//二維數組，需要用兩層的嵌套循環來完成比較簡單
for(inti=0;i<n*n;i++)
{
//根據座標填充值
array[y][x]=counter;
//計算下一個座標的位置
if(counter%n==0)
{
//如果counter是n的整數倍，下一個座標是在當前數字的下面
y++;
}else{
x++;
y--;
if(y<0)
{
//如果y超出範圍，把y設置成最大
y=n-1;
}
if(x==n)
{
//如果x超出範圍，把x設置成最小
x=0;
}
}
//使用完以後計數器需要自加
counter++;
}
for(int[]row:array)
{
for(inti:row)
{
System.out.print(i);
System.out.print("\t");
}
System.out.println();
}
}
}
參考資料
  • 1.    演示魔方矩陣的算法