縱橫圖

電子計算機的發展，又給它賦予了新的含義，它在組合分析、圖論、人工智能等各方面都有所應用。美國計算機協會主編的CACM程序彙編中也把縱橫圖的編造程序收了進去。建築學家勃拉東發現縱橫圖的對稱性極為豐富，其中有許多美麗的圖案，他把這些線條稱為“魔線”，可用於輕工業品、封面包裝等設計中。

加拿大滑鐵盧大學的一位專家發現了它與“拉丁方”的內在聯繫，由於“拉丁方”在實驗設計領域中的無比重要性，從此，縱橫圖就更加引起了人們的重視。國外出版的《現代代數及其應用》這本專門著作裏就把縱橫圖列為專門題材。

縱橫圖現今仍然是組合數學研究的課題，廣義幻方、幻體、雙隨機矩陣等都由它推廣而來。探討中國縱橫圖發展的悠久歷程是組合數學前史的重要內容，日益受到國內外數學史界的重視。

中國東漢末年鄭玄(129～200)注《易緯·乾鑿度》：“太乙取其數以行九宮，四正四維皆合於十五”而得九宮數,即三階幻方（左圖[三階縱橫圖]）。西魏北周盧注《禮記·明堂篇》“二、九、四，七、五、三，六、一、八”有法龜文之説，後周甄鸞注《數術記遺》雲：“九宮者，二、四為肩，六、八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。”亦與龜文之説暗合。古人在龜甲或骨上用火灼出窩槽，爆見吉祥之兆，有時這種窩槽的排列有了某種特殊的意義，令人驚異，於是成為世代相傳的神話。可見，九宮圖由來已久。

南宋楊輝《續古摘奇算法》(1275)卷一始有“縱橫圖”之名，其中給出了三至十階的幻方及其變體共十三種。楊輝給出的方形縱橫圖共有十三幅，它們是：洛書數（三階幻方）一幅，四四圖（四階幻方）兩幅，五五圖（五階幻方）兩幅，六六圖（六階幻方）兩幅，七七圖（七階幻方）兩幅，六十四圖（八階幻方）兩幅，九九圖（九階幻方）一幅，百子圖（十階幻方）一幅（參見圖1-9-3）。其中還給出了“洛書數”和“四四陰圖”的構造方法。如“洛書數”的構造方法為：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出”。

元代安西王府舊址（今西安市郊）曾出土至元十五年(1278)阿拉伯學者紮馬魯丁為安西王推算曆法期間所製作的“東阿拉伯系統”數碼的鐵製六階幻方（1956年出土），（見彩圖1[阿拉伯數學幻方鐵板]（元代） 陝西安西王府遺址出土）。上海浦東陸家嘴明嘉靖陸深墓中也發現元代玉質可佩掛的四階幻方（1980年出土）。

明王文素《算學寶鑑》(1524)載縱橫圖多種。程大位《算法統宗》(1592)卷十七載縱橫圖14種，及清方中通《數度衍》(1661)卷首之一“九九圖説”後附縱橫圖14種，與楊輝所著《續古摘奇算法》中所載縱橫圖大同小異。

張潮 (1650～?)《心齋雜俎》卷下“算法圖補”增補縱橫圖若干種。梅成《增刪算法統宗》(1760)淘汰有關河圖洛書及縱橫圖的內容之後，縱橫圖存在約有一百多年。

清初、傳教士傳入《三三等數圖》列三至十階縱橫圖八種，並指出作圖方法。英國人傅蘭雅主編的《格致彙編》(1878)載有四階縱橫圖（圖2[四階縱橫圖]），此即1514年A.度勒所刻十六字方圖。歐洲研求縱橫圖造法始自14世紀。中國人杜亞泉(1872～1933)等從1900年起論及縱橫圖的造法，但多沿用西説。