魔方陣

幻方，有時又稱魔方（該稱呼現一般指立方體的魔術方塊）或縱橫圖，由一組排放在正方形中的整數組成，其每行、每列以及兩條對角線上的數之和均相等。通常幻方由從1到N²的連續整數組成，其中N為正方形的行或列的數目。因此 N階幻方有N行N列，並且所填充的數為從1到N²。 ^[1] 

幻方可以使用N階方陣來表示，方陣的每行、每列以及兩條對角線的和都等於常數

，如果填充數為

，那麼有

⒈何謂矩陣？矩陣就是由方程組的係數及常數所構成的方陣。把用在解線性方程組上既方便，又直觀。

⒉何謂n階方陣？若一個矩陣是由n個橫列與n個縱行所構成，共有n*n個小方格，則稱這個方陣是一個n階方陣。

⒊何謂魔方陣？ 定義：由n*n個數字所組成的n階方陣，具有各對角線，各橫列與縱行的數字和都相等的性質，稱為魔方陣。而這個相等的和稱為魔術數字。若填入的數字是從1到n*n，稱此種魔方陣為n階正規魔方陣。

⒋最早的魔方陣相傳古時為了幫助治水專家大禹統治天下，由水中浮出兩隻龐大動物背上各負有一圖，只有大禹才可指揮其中之由龍馬負出的為河圖，出自黃河；另一由理龜負出的洛書出自洛河。

⒌最早的四階魔方陣相傳是刻在印度一所廟宇石上，年代大約是十一世紀。古代印度人十分崇拜這種幻方，至今從古神殿的遺址，墓碑上常常還可以發現四階幻方的遺蹟。

⒍歐洲最早的魔方陣是公元1514年德國畫家Albrecht Dure在他著名的銅板畫Melencolia上的4×4幻方，有趣的是，他連創造年代（1514）也鑲在這個方陣中，而且上下左右，四個小方陣的和皆為34，是歐洲最古老的幻方。

《繫辭》雲：“河出圖，洛出書，聖人則之。”在宋朝之前，洛書的記述只有文字。

九宮圖實物最早發現於西漢，1977年中國考古學家在安徽阜陽縣雙古堆西漢古墓中發現漢文帝七年（前173年）的太乙九宮佔盤，乃是中國漢代幻方的實物。東漢《數術記遺》也有記載。

後來陳摶以降認為河圖洛書的洛書代表九宮圖，為

這9個數，而3行、3列以及兩對角線上各自的數之和均為15。

南宋數學家楊輝著《續古摘奇算法》把類似於九宮圖的圖形命名為縱橫圖，書中列舉3、4、5、6、7、8、9、10階幻方。其中所述三階幻方構造法：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出，戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足”，比法國數學家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百餘年。

根據構造方法的不同，幻方可以分成三類：奇數階幻方、4M階幻方和4M+2階幻方，其中M為自然數，2階幻方不存在。幻方構造法主要有：連續擺數法、階梯法（樓梯法）、奇偶數分開的菱形法、對稱法、對角線法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊爾法（基方、根方合成法）、鑲邊法、相乘法、幻方模式等。 ^[2] 

（1） 先將整個方陣劃分成k*k個4階方陣，然後在每個4階方陣的對角線上做記號；

（2） 由左而右、由上而下，遇到沒有記號的位置才填數字，但不管是否填入數字，每移動一格數字都要加1；

（3） 自右下角開始，由右而左、由下而上，遇到沒有數字的位置就填入數字，但每移動一格數字都要加1。

填制魔方陣時，先將整個方陣劃成田字型的四個2 k + 1階的奇數階小方陣，並以下法做註記：

（1）右半兩個小方陣中大於k+2的列；

（2）左半兩個小方陣中( k + 1 , k + 1 )的格位；

（3）左半兩個小方陣中除了( k+1 , 1 )是指第一列第k+1行的格位之外，小於k +1的列。

以奇數階魔方陣的方法連續填製法依左上、右下、右上、左下的順序分別填制這四個小方陣。將上半及下半方陣中有註記的數字對調，魔方陣完成。

魔方陣的排列規律如下：

⑴將1放在第一行中間一列；

⑵從2開始直到n×n止各數依次按下列規則存放；每一個數存放的行比前一個數的行數減1，列數加1（例如上面的三階魔方陣，5在4的上一行後一列）；

⑶如果上一個數的行數為1，則下一個數的行數為n（指最下一行）；例如1在第一行，則2應放在最下一行，列數同樣加1；

⑷當上一個數的列數為n時，下一個數的列數應為1，行數減去1。例如2在第3行最後一列，則3應放在第二行第一列；

⑸如果按上面規則確定的位置上已有數，或上一個數是第一行第n列時，則把下一個數放在上一個數的下面。例如按上面的規定，4應該放在第1行第2列，但該位置已經被佔據，所以4就放在3的下面。