驢橋定理

有關其名稱驢橋定理的由來有二種：一種是《幾何原本》中的示意圖即為一座橋，另外一種比較廣為大家接受，是指這是《幾何原本》中第一個對於讀者智力的測試，並且做為往後續更困難命題的橋樑。幾何學是列在中世紀四術之中，驢橋定理是在《幾何原本》的前面出現的較困難命題，是數學能力的一個門檻，也稱之為“笨蛋的難關（Asses' Bridge）”，無法理解此一命題的人可能也無法處理後面更難的命題。照原文直譯，就是“驢橋”，因此，我國也有將此命題譯作“驢橋定理”。

無論其名稱的由來為何，驢橋定理一詞也變成是一種隱喻，是指對能力或瞭解程度的關鍵測試，可以將瞭解及不瞭解的人區分開來。

驢橋定理——歐幾里得《幾何原本》第一篇的前5個命題是 ^[1]  ：

命題1：以已知線段為邊，求作一等邊三角形。

命題2：求以已知點為端點，作一線段與已知線段相等。

命題3：已知大小兩線段，求在大線段上截取一線段與小線段相等。

命題4：兩三角形的兩邊及其夾角對應相等，則這兩個三角形全等。

命題5：等腰三角形兩底角相等。

命題5的證法是這樣的：已知AB=AC，延長AB到F，AC到G，使AF=AG。引用命題4，易知△AFC≌△AGB，得出BG=CF，∠BFC=∠BGC，注意到BF=CG，再引用命題4，易得△FBC≌△GCB，進而得到∠FBC=∠GCB，於是∠ABC=∠ACB。

命題5在現代的中學課本中是從頂角A引角平分線來證明的，但《幾何原本》中，作角平分線是命題9，因此只能用前面的4個命題來證明。上述證法雖然很巧妙，但對於初學者卻是一個難關。西歐對此定理戲稱為“笨蛋的難關（Asses' Bridge）”，照原文直譯，就是“驢橋”，因此，我國也有將此命題譯作“驢橋定理”。

歐幾里得的證明包括第二個結論，就是若三角形的二腰延伸超過底邊，則二腰延長線和底邊的夾角也會相等。歐幾里得的證明中包括了繪製二腰延長線的輔助線，但當時的數學家普羅克魯斯指出他沒有用到第二個結論，而且若在三角形內部繪輔助線，會使證明比較簡單。歐幾里得的證明用到稱為SAS的三角形全等，是幾何原本中的上一個命題。

在教科書（例如人教版數學教科書在八年級“軸對稱”一章）上常見的作法是作頂角A的角平分線。此證明方式比歐幾里德的簡單，但在《幾何原本》中命題9才是作角平分線，因此若《幾何原本》中在命題5就使用角平分線，會有循環論證的問題。

其證明如下：

1）令三角形為ABC，其中線段AB=線段AC。

2）作角BAC的角平分線，和線BC交與X點。

3）線段AB=線段AC，線段AX和自身等長，而且∠BAX = ∠CAX，因此依照SAS全等，三角形BAX和CAX全等，因此可得角B和角C相等。

勒讓德在《幾何原理》用了一個類似的方式證明，不過令X是線段BC的中點。其證明方式類似，但是會用到SSS全等，而在歐幾里德的幾何原本未提到SSS全等。

帕普斯在約公元300年用了一個非常簡短的方法證明：等腰三角形ABC中, AB=AC, BC=CB, CA=BA, 則三角形ABC與ACB全等(SSS), 故三角形ABC 兩底角相等。約1960年，赫伯特·吉倫特編寫的程序也得到了相同的證明。