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餘代數

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代數是數學的一個分支。傳統的代數用有字符 (變量) 的表達式進行算術運算,字符代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外),則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。代數方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作,已滲入數學的各分支。
餘代數(coalgebra)是代數的對偶概念。設C是R模,Δ是一個R線性映射C→CRC,被稱為餘乘法或對角映射;ε是一個R線性映射C→R,稱為餘單位元或增廣 [1] 
中文名
餘代數
外文名
coalgebra
所屬學科
代數
性    質
代數的對偶概念
產生方式1
對角映射
產生方式2
增廣

餘代數簡介

餘代數(coalgebra)是代數的對偶概念。

餘代數定義

設C是R雙模,Δ是一個R模同態
,被稱為餘乘法對角映射;ε是一個R模同態C→R,稱為餘單位或增廣。則R上的餘代數是指滿足以下二交換圖的三元組(C,Δ,ε): [5] 
餘代數 餘代數

餘代數代數

代數是數學的一個分支。傳統的代數用有字符 (變量) 的表達式進行算術運算,字符代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外),則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。例如: 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一個代數方程式 (參見EQUATION)是通過使多項式等於零來表示對變量所加的條件。如果只有一個變量,那麼滿足這一方程式的將是一定數量的實數或複數——它的根。一個代數數是某一方程式的根。代數數的理論——伽羅瓦理論是數學中最令人滿意的分支之一。建立這個理論的伽羅瓦(Evariste Galois,1811-32)在21歲時死於決鬥中。他證明了不可能有解五次方程的代數公式。用他的方法也證明了用直尺和圓規不能解決某些著名的幾何問題(立方加倍,三等分一個角)。多於一個變量的代數方程理論屬於代數幾何學,抽象代數學處理廣義的數學結構,它們與算術運算有類似之處。參見,如: 布爾代數(BOOLEAN ALGEBRA); (GRO-UPS);矩陣(MATRICES);四元數(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。這些結構以公理 (見公理法 AXIOMATICMETHOD) 為特徵。特別重要的是結合律和交換律。代數方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作,已滲入數學的各分支。
設K為一交換體. 把K上的向量空間E叫做K上的代數,或叫K-代數,如果賦以從E×E到E中的雙線性映射.換言之,賦以集合E由如下三個給定的法則所定義的代數結構: [2] 
——記為加法的合成法則(x,y)↦x+y;
——記為乘法的第二個合成法則(x,y)↦xy;
——記為乘法的從K×E到E中的映射(α,x)↦αx,這是一個作用法則;
這三個法則滿足下列條件:
a) 賦以第一個和第三個法則,E則為K上的一個向量空間;
b) 對E的元素的任意三元組(x,y,z),有
x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;
c)對K的任一元素偶(α,β)及對E的任一元素偶(x,y),有(αx)(βy)=(αβ) (xy)。
設A為一非空集合。 賦予從A到K中的全體映射之集ℱ(A,K)以如下三個法則:
則ℱ(A, K)是K上的代數, 自然地被稱為從A到K中的映射代數.當A=N時, 代數ℱ(A,K)叫做K的元素序列代數.
無論是在代數還是在分析中,代數結構都是最常見到的結構之一。十九世紀前半葉末,隨着哈密頓四元數理論的建立,非交換代數的研究已經開始. 在十九世紀下半葉,隨着M.S.李的工作,非結合代數出現了. 到二十世紀初,由於放棄實數體或複數體作為算子域的限制,代數得到了重大擴展。
與外代數,對稱代數,張量代數,克利福德代數等一起,代數結構在多重線性代數中也建立了起來。

餘代數餘代數研究背景

1907 年Wedderburn 對半單代數進行了研究,給出了著名的結構定理。1927 年Emil Artin 將Wedderburn 的研究結果推廣到了具有有限條件的環上( 升鏈條件、降鏈條件).之後Jacobson 又系統地研究了根論,得到了研究一般的結合代數的框架。考察某類代數W 的結構,先給一些特殊的子類U,取R∈W,考慮R 的理想
,滿足
。令
,可稱N 為R 的根,這樣R/N 可表示成U 中代數系統的亞直和。以上便是代數的經典的結構理論。
在表示方面,1958 年Morita 用投射生成子刻畫了兩個環上模範疇的等價理論,此理論後來被稱為模範疇間的Morita 等價理論。接着對錶示理論的研究,得到了些表示論中的經典結果,一個有限維代數的模範疇與它的基代數的模範疇是等價的。Artin 代數的唯一分解定理成為考慮表示類型的基礎。Auslander 和Reitenl在”Artin 代數的表示理論”牛!給出了quiver 的概念、性質以及關於有限quiver 的路代數的定義和相關結論。P.Gabriel及其學派發展了quiver 的方法。P.Gabriel 通過Coxeter 函子實現了有限維遺傳代數的分類。餘代數理論似乎可以由代數理論對偶得到,但由於其自身的特性,餘代數的理論及其證明不能完全通過對偶方法獲得。 [3] 
1975年Kaplansky證明了任何餘代數C是(唯一的)不可分解子餘代數的直和;且當C是餘可換時,其不可分解分量是既約的。1977年,Takeuchi運用餘張量積和cohom函子把代數上模範疇的Morita等價推廣成為餘代數上餘模範疇的Morita-Takeuchi等價。1995年SusanMontgomery證明了每個餘代數C是link-不可分解餘代數的直和,其直和加項對應於C的單餘模的Extquiver的連通分量。1996年C.Nastasescu,B.Torrecillas和Y.H.Zhang研究了餘代數的整體維數並且討論了整體維數小於或等於1的一類餘代數。這一類餘代數,包含所有的餘半單餘代數,稱為遺傳餘代數。他們還給出了許多無限維遺傳餘代數的例子。
1994年Nastasescu和Torrecillas給出了餘冪等子餘代數,局部化子餘範疇以及餘平坦態射的一些性質,並建立餘代數的餘冪等子餘代數的集合與局部化子餘範疇的集合之間的一一對應。1997年WilliamChin和SusanMontgomery引入基本餘代數,證明了對任何餘代數c,都存在一個結合基本餘代數B,使得對於C的餘模範疇等價於對於B的餘模範疇。quiver的路餘代數是一種特殊的餘代數。W.Chin和S.MontgomeryCibils和Rosso進一步對有限的路代數深入研究並得到相關結論。同年,Chin和Montgomery 考慮了無限quiver的路餘代數結
構,並研究了其性質。
在此基礎上,1998年Torrecillas通過定義局化雙模及完備局化雙模,建立了完備局部化雙模的等價類集合與餘平坦單態射的同構類集合之間的一一對應,且給出了備局化雙模與Morita-Takeuchi等價的關係,以及關於餘平坦單的其它性質。而餘代數的餘平坦單和代數的平坦滿對偶,在此基礎上,考慮並研究與餘代數的餘平坦單和代數平坦滿相關的性質以及討論這些性質。 [4] 
參考資料
  • 1.    王璐. U_q的某些子餘代數及其相關結構[D].揚州大學,2015.
  • 2.    史國棟. Hom-餘結合餘代數的餘扭曲構造[D].曲阜師範大學,2016.
  • 3.    永鋒. HOM餘結合餘代數的扭曲作用和扭曲張量積[D].曲阜師範大學,2016.
  • 4.    景妮敏. 關於餘代數的同調維數的一些研究[D].北京工業大學,2013.
  • 5.    羅絲·斯特利特.量子羣——流代數的路徑:劍橋大學出版社,2013