鞍點

廣義而説，一個光滑函數（曲線，曲面，或超曲面）的鞍點鄰域的曲線，曲面，或超曲面，都位於這點的切線的不同邊。

參考圖1，鞍點這詞來自於不定二次型x^2-y^2的二維圖形，像馬鞍：x-軸方向往上曲，在y-軸方向往下曲。

檢驗二元是函數F（x，y）的駐點是不是鞍點的一個簡單的方法，是計算函數在這個點的Hessian矩陣：如果黑塞矩陣的行列式小於0，則該點就是鞍點。 ^[2] 

函數

在駐點(0,0)的黑塞矩陣是：

我們可以看到此矩陣有兩個特徵值2，-2。它的行列小於0，因此，這個點是鞍點。然而，這個條件只是充分條件，例如，對於函數z = x⁴ − y⁴，點(0,0)是一個鞍點，但函數在原點的黑塞矩陣是零矩陣，並不小於0。如圖2，一維鞍點看起來並不像馬鞍！在一維維空間裏，鞍點是駐點．也是反曲點點。因為函數圖形在鞍點由凸轉凹，或由凹轉凸，鞍點不是區域性極點。

思考一個只有一個變數的函數。這函數在鞍點的一次導數等於零，二次導數換正負符號．例如，函數y=x^3就有一個鞍點在原點。 ^[1] 

思考一個擁有兩個以上變數的函數。它的曲面在鞍點好像一個馬鞍，在某些方向往上曲，在其他方向往下曲。在一幅等高線圖裏，一般來説，當兩個等高線圈圈相交叉的地點，就是鞍點。例如，兩座山中間的山口就是一個鞍點。

#include "stdio.h"

#include "conio.h"

#include "malloc.h"

#define TRUE 1

#define FALSE 0

#define OK 0

#define ERROR 1

#define MAXX 80

void Print(int * const pMatrix, const int m, const int n);

void Input(const int * const pm, const int * const pn);

void CreatTureMatrix(int ** const pMatrix,int ** const pTrueMatrixconst, const int m, const int n);

OutPrint(int ** const pMatrix, int ** const pTrueMatrix, const int m, const int n );

int main(void)

{

system("cls");

{

const int m = FALSE, n = FALSE;

Input(&m, &n);

{

int * pMatrix = NULL, * pTrueMatrix = NULL;

CreatTureMatrix(&pMatrix, &pTrueMatrix, m, n);

printf("\nMatrix is :\n");

Print(pMatrix, m , n);

printf("\nSaddle point Ture Matrix is :\n");

Print(pTrueMatrix, m, n);

OutPrint(&pMatrix, &pTrueMatrix, m, n);

}

}

getch();

return (OK);

}

void Print(int * const pMatrix, const int m, const int n)

{

int * p = NULL;

for(p = pMatrix; p < pMatrix + m*n; ++p)

{

printf("%5d", *p);

if( !( (p - pMatrix)%n- (n-1) ) )

{printf("\n"); }

}

}

void Input(const int * const pm,const int * const pn)

{

printf("Please enter a matrix of rows, columns: ");

{

int flag = TRUE;

while(flag)

{

if(scanf("%d%d", pm, pn) - 2)

{

flag = TRUE;

printf("Worry enter,retry!\n");

fflush(stdin);

}

else if( (*pm<=0 || *pm>=10) && (*pn<=0) || (*pn>=10) )

{

flag = TRUE;

printf("Enter Big or small,retry!\n");

}

else

{flag = FALSE;}

}

}

}

void CreatTureMatrix(int ** const pMatrix,int ** const pTrueMatrix, const int m, const int n)

{

*pMatrix = (int *)malloc( m*n*sizeof(int) );

*pTrueMatrix = (int *)calloc( m*n,sizeof(int) );

{

int *p = NULL;

for(p = *pMatrix; p < *pMatrix + m*n; ++p)

{scanf("%d",p);}

}

{

int * p = NULL;

for(p = *pMatrix; p < *pMatrix + m*n; p += n)

{

int * pMaxj = p;

{

int * q = NULL;

for(q = p + 1; q < p + n; ++q)

{

if(*q > *pMaxj)

{pMaxj = q;}

}

}

{

int * q = NULL;

for(q = pMaxj; q < p + n; ++q) /*此處處理所有（不嚴格）最大值*/

{

if( !(*q - *pMaxj) )

{

int * r = NULL;

for(

r = *pMatrix + (q - *pMatrix)%n

;(r < *pMatrix + m*n) && (*r >= *pMaxj)

;r += n

);

if( r >= (*pMatrix + m*n) )

{*(*pTrueMatrix + (q - *pMatrix)) = 1; }

}

}

}

}

}

}

OutPrint(int ** const pMatrix, int ** const pTrueMatrix, const int m, const int n )

{

int count = 0;

int * p = NULL;

printf("\nSaddle point is :\n");

for(p = *pTrueMatrix; p < *pTrueMatrix + m*n; ++p)

{

if(*p)

{

printf("Matrix[%d][%d] = %3d, "

, (p - *pTrueMatrix)/n, (p - *pTrueMatrix)%n

, *(*pMatrix + (p - *pTrueMatrix)) );

++count;

}

}

free(*pMatrix);

*pMatrix = NULL;

free(*pTrueMatrix);

*pTrueMatrix = NULL;

if(count)

{

const int xPos = wherex(), yPos = wherey();

if(xPos - 1)

{gotoxy(xPos - 2, yPos); }

else

{gotoxy(MAXX - 1, yPos - 1); }

printf(".");

} /*此處TC一類特有的函數gotoxy（）*/

else

{printf("It is not exist!\n"); }

}