雷劈數

印度數學家卡普列加（Dattaraya Ramchandra Kaprekar, 1905 - 1986）在一次旅行中，遇到猛烈的暴風雨，他看到路邊一塊牌子被劈成了兩半，一半上寫着30，另一半寫着25。這時，他忽然發現30+25=55，55^2=3025，把劈成兩半的數加起來，再平方，正好是原來的數字。從此他就專門蒐集這類數字。

按照第一個發現者的名字，這種怪數被命名為“卡普列加數”或“雷劈數”或“卡布列克怪數”，也叫“分和累乘再現數”。

卡氏數可以指平方後的數，亦可指平方前的數，常常不加區分。

人們容易找到其他的數也具有這樣的性質。例如，易知2025具有該性質：20+25=45，45^2=2025。

求雷劈數的方法很多，從初等數學到高等數學，應有盡有。以下是兩種最簡單的辦法（以兩位數+兩位數為例）：

設該數的前兩位為x，後兩位為y，根據定義，有

(x + y)^2 = 100x + y

即 x^2 + 2(y - 50)x + y^2 - y = 0。

該方程的判別式D=4(2500 - 99y)必須是完全平方數，而y本身也必須是平方數的尾數，故可求得y等於1或25，從而求得四個結果2025，3025，9801和0001（捨去）。

同樣設該數的前兩位為x，後兩位為y。於是有

(x + y)^2 = 100x + y = x + y + 99x

(x + y)(x + y - 1) = 99x

從而看出x + y與x + y - 1中有一個是9的倍數，另一個是11的倍數（當然依照位數不同，也可能是別的因數），從而找出候補者44，55和99。下略。

用以上方法，亦可找到其他位數的雷劈數，如7777^2 = 60481729；6048 + 1729 = 7777。最小的雷劈數是81

最小的奇雷劈數是81：8+1=9 9² = 81。

最小的雷劈偶數是100:10+0=10 10²=100

如果M^2是雷劈數，那麼(10...0 - M)^2也是雷劈數.證明：

設M^2是雷劈數，可以分割成x和y兩部分，且M=x+y，y為n位數，則

M^2=10^n*x+y（雷劈數定理）

然而

(10^n-M)^2

=10^(2n)-2M*10^n+M^2

=10^(2n)-2M*10^n+10^n*x+y

=10^(2n)-2M*10^n+10^n*(M-y)+y

=10^n*(10^n-M-y)+y

同樣滿足雷劈數方程。

在二進制下，所有的完全數都是卡布列克數（同雷劈數）。

以下用x|y表示一個平方數N可以分割為x和y兩部分，(x + y)^2 = N。

N=0|0, 10|0, 0|1, 8|1

有意義的數只有9^2 = 81。

0^2 = 0|00, 100^2 = 100|00

45^2 = 20|25, 55^2 = 30|25

99^2 = 98|01, 1^2 = 0|01

其中有意義的數是45^2=2025, 55^2=3025。

0|0...0, 0|0...1, 10...0|0...0這三種屬於平凡解，下略。

根據上節的性質，雷劈數必然成對存在；但9..98|0...01是比較特殊的一類，與其成對的0|0...1屬於平凡解。

297^2 = 88|209

703^2 = 494|209

999^2 = 998|001

2223^2 = 494|1729

7777^2 = 6048|1729

2728^2 = 744|1984

7272^2 = 5288|1984

4950^2 = 2450|2500

5050^2 = 2550|2500

9999^2 = 9998|0001

4879^2 = 238|04641

95121^2 = 90480|04641

82656^2 = 68320|14336

17344^2 = 3008|14336

77778^2 = 60494|17284

22222^2 = 4938|17284

99999^2 = 99998|00001

994708^2 = 989444|005264, 5292^2 = 28|005264

961038^2 = 923594|037444, 38962^2 = 1518|037444

857143^2 = 734694|122449, 142857^2 = 20408|122449

851851^2 = 725650|126201, 148149^2 = 21948|126201

818181^2 = 669420|148761, 181819^2 = 33058|148761

812890^2 = 660790|152100, 187110^2 = 35010|152100

791505^2 = 626480|165025, 208495^2 = 43470|165025

681318^2 = 464194|217124, 318682^2 = 101558|217124

670033^2 = 448944|221089, 329967^2 = 108878|221089

648648^2 = 420744|227904, 351352^2 = 123448|227904

643357^2 = 413908|229449, 356643^2 = 127194|229449

609687^2 = 371718|237969, 390313^2 = 152344|237969

538461^2 = 289940|248521, 461539^2 = 213018|248521

533170^2 = 284270|248900, 466830^2 = 217930|248900

500500^2 = 250500|250000, 499500^2 = 249500|250000

999999^2 = 999998|000001