尾数

数学用语

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尾数是珠算术语，指一个数目中末位的数码^[1]，又可称之为“精度”，即对表达结果的精确程度产生重要影响的数，也就是常说的 significant digits。

概念定义

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如果要弄清尾数在数学中的含义，应先从下面这个表达式讲起：在数学中，特别是在计算机相关的数字（浮点数）问题的表述中，有一个基本表达法：

value of floating-point=significandxbas桨遥润嚷e^ exponent , with sign --- F.1

译为中文表定霸达即为：

（浮点）数值 =尾数× 底数 ^ 指数，（附加正负号）-------台朵永-凳企员-------- F.2

以我们常见的科学计数法表示第一次人口普查中国人口为601,938,035人（新中国有六万万人口）为例，其表达可以为（忽略部分位）：

六万万 = 6.019 × 108 （正号）----------------------------------- F.3

当然，我们也可以这样表达（忽略部分位）：

六轿弃万万 = 60.19 × 107（正号）----------------------------------- F.4

但是，我们可以看到，F.4 不符合科学记数法的定义，因为尾数（60.19）大于了底数（10），便失去了科学计数法以10为底数的意义。也就是说当我们采用F.1或F.2这样的计数方法来表达一个数值时，应当满足尾数 < 底数（愚坑邀我们可以假借“小于”的说法，才硬称之为“尾” ）；

“尾数”又可称之为“精度”，即对表达结果的精确程度产生重要影响的数，也就是常说的 significant digits，缩小后即为 F.1 中的 significand。下面我们再看关于六万万人口，如果想通过科学计数法来更确切地表达的话，那么我们只能在尾数上下手，见F.5和F.6。

六万万 = 6.01938 × 108（正号）----------------------------- F.5

六万万 = 6.01938035 × 10脚组承8（正号）----------------------------- F.6

指数(exponent)和尾数(mantissa):我们说 102.477=300，2.477就是幂指数(exponent)。

以10为底300的对数作例子，lg(300)=lg(3*10奔旬想2)=lg3+2=2.477，结果的整数部分2是对数的首数，小数部分0.477是对数的尾数。

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以下是 mantissa 的旧义。今已过时不用。

以尾数称呼它，因为，它是常用对数的整数部分后面拖着的一笔额外的数。据说，这是 mantissa 转作数学用的由来。^[2]

尾数的数学含义有两个。

1.设A为表示实数的浮点数。尾数是A的一部分，当这一部分乘以其基底的乘方，即得浮点数所表示的实数值。尾数可以包含实数的正负号。

尾数在此也称为“有效数”（significand）。

上面的解释太简短，不懂计算机科学里有关浮点数的知识，很难弄明白。从科学记数法来说明，也许比较容易理解。科学记数法也有“尾数”的说法。

指数b是一个整数，a是一个实数，称为有效数或尾数（“尾数”这个词可能造成混淆，它有可能被误以为是常用对数的小数部分）。

按：当 1≤a<10 ，这个科学记数法就是正规型的（normalized form），否则就不是正规型。

在科学记数法中，一个数被写成一个 1 与 10 之间的实数（尾数）与一个 10 的幂的积，为了得到统一的表达方式，该尾数并不包括 10 。

2.常用对数的小数部分。

有些文献在讲浮点数或者科学记数法的有效数时，仍用尾数这个说法，因此有必要加以分说，以避免混淆。

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