零化子

設S是環R的子集，R中一切左乘S中每一個元都等於零的元素的集合，稱為S的左零化子，通常記為

或

，即

={

對任意

}。

是R的一個左理想。同樣地，S在R中的右零化子

=

={

對任意

}是R的右理想，

∩

稱為S在R中的零化子，它是R的理想。 ^[1] 

假定R是環，S是R的非空子集合，

，那麼 ^[2] 

叫做R中S的左零化子或簡稱R中左零化子或左零化子，顯然

是R的左理想，假如K是由S生成的R的右理想，那麼

，因此我們也可以假定S是R的右理想，這樣

就是R的右理想S的左零化子，如果S是左理想或理想，那麼

就是理想。

同樣

叫做R中S的右零化子或R中右零化子或右零化子，顯然

是R的右理想，我們也可把

看成R的左理想S的右零化子，右理想的右零化子或理想的右零化子都是理想。

R的理想如果又是R中左零化子或右零化子，就叫做R的零化理想，顯然R自身是R中的零化理想，假如環R有單位元或是半質環，那麼O是R的零化理想。 ^[2] 

把

和

分別簡記為

和

。 ^[3] 

設

是餘生成子，則對於每個

有：

若

是內射的，則有

(1)對任意

，

，有

(2)對任意有限生成的

有

如果定理2中的條件(1)，(2)成立，則任意從R的有限生成右理想到R的同態可由R的某個元素左乘得到。

若

是Noether的且定理2中的條件(1)，(2)成立，則

是內射的。 ^[3] 

證明：因為

是Noether的，所以R的每個右理想是有限生成的，於是由定理3和Baer判別定理就得到命題。