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隨機矩陣
鎖定
隨機矩陣定義
一般地,在由矩陣P給出的有限馬爾可夫鏈上從任何狀態轉移到另一個狀態的k步轉移概率為Pk。初始分佈為一個行向量。平穩概率向量
定義為不隨轉移矩陣的運用而變化的一個向量;也就是説,它定義為概率矩陣的左特徵向量,其特徵值為1:
佩龍一弗羅賓尼斯定理保證了每個隨機矩陣都具有這樣的向量,而特徵值的最大絕對值始終為1。在一般情況下,可能有多個這樣的向量。然而,對於具有嚴格正項的矩陣,該向量是唯一的,並可以觀察到對任意i我們都有以下極限而求出,
直觀地看,隨機矩陣表示一個馬爾可夫鏈;對概率分佈應用隨機矩陣,就是將原始分佈的概率質量進行重新分佈,同時保持其總質量。如果反覆應用此過程,分佈就會收斂為馬爾可夫鏈的平穩分佈。
設A、B為二個n×n階轉移矩陣,則以下亦為轉移矩陣:AB、A、1/2(A+B)。
隨機矩陣分類
右隨機矩陣是實方陣,其中每一行求和為1。
左隨機矩陣是實方陣,其中每一列求和為1。
雙隨機矩陣是非負實數方陣,每個行和列求和均為1。
同理,可以定義隨機向量(也稱為概率向量)為元素為非負實數且和為1的向量。因此,右隨機矩陣的每一行(或左隨機矩陣的每一列)都是一個隨機向量。在英語數學文獻中的慣例是用概率的行向量和概率的右隨機矩陣,而不用列向量和左隨機矩陣,本文遵循此慣例。
隨機矩陣應用
隨機矩陣範例
假設你有一個計時器和五個相鄰的格子排成一行,零時刻有一隻貓在第一個格子中,而一隻老鼠在第五個格子中。在計時器增加的時候貓和老鼠都會隨機跳到一個相鄰的格子中。例如,如果貓在第二個格子,老鼠在第四個,在計時器增加後,貓會出現在第一個格子且老鼠會出現在第五個格子的概率為1/4。如果貓在第一個格子而老鼠在第五個,那麼計時器增加後,貓會出現在第二個格子且老鼠會出現在第四個的概率為1。當它們處於同一個格子的時候,貓會吃掉老鼠,遊戲結束。隨機變量K給出了老鼠仍留在遊戲中的時間步長。
表示這個包含五種位置組合 (貓,鼠) 的狀態的遊戲的馬爾可夫鏈為:
- 狀態 1:(1,3)
- 狀態 2:(1,5)
- 狀態 3:(2,4)
- 狀態 4:(3,5)
- 狀態 5:遊戲結束:(2,2), (3,3) & (4,4).
我們使用一個隨機矩陣來表示這個系統的轉移概率(這個矩陣中的行和列用上面提到的可能狀態來索引),
隨機矩陣長期平均
無論初始狀態是什麼,貓最終都會抓到老鼠(概率為1),且極限為穩態π= (0,0,0,0,1)。要計算隨機變量 Y 的長期平均或期望值。對每種狀態 Sj和時間 tk,都有 Yj,k·P(S=Sj,t=tk) 的貢獻。生存與否可以視作一個二值變量,Y=1 代表生存狀態而 Y=0 代表終止狀態。Y=0 的狀態不對長期平均有貢獻。
隨機矩陣位相型表示
由於狀態 5 是一個吸收態,吸收對時間的分佈為離散位相型分佈。假設系統從狀態 2 開始,表示為向量[0,1,0,0,0]。老鼠死亡後的狀態不會對生存平均產生影響,所以狀態五可以忽略。初始狀態和轉移矩陣可以化簡為,